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2．《九章算术》的编纂
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《九章算术》的体例多种多样，不统一。因此，它肯定不是一人一时编写的，而是经过许多世代，若干人的劳动积累而成的，这是学术界的共识。然而，具体到什么时候编纂的，却存在不同的看法。魏刘徽说：
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周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自始厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。
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这是现存资料中关于《九章算术》编纂的最早的描述。自清中叶的戴震起，便否认刘徽的说法。20世纪30～70年代，学术界占统治地位的说法是钱宝琮提出的《九章算术》成书于公元1世纪。实际上，戴震、钱宝琮否认刘徽的说法的论据，大都已被历史文献和出土文物所否定。对文献中关于“九数”的记载以及《九章算术》的体例和结构的分析，对《九章算术》所反映的物价的全面分析，无一不证明刘徽说法的正确性。《算数书》尽管不是《九章算术》的前身，然而《算数书》所反映的先秦的数学成就，也为刘徽的说法提供了佐证。因此，刘徽的说法，是最准确的。就是说，在先秦已经存在某种形态的《九章算术》，它在秦火及秦末战乱中遭到破坏。西汉张苍（？～前152年）、耿寿昌（公元前1世纪）搜集遗残，加以删补，编定了《九章算术》。
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（二）《九章算术》的内容和成就——以解勾股形为例
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1．《九章算术》各章的内容
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《九章算术》分九章，其各章的数学方法与要解决的问题如下：
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（1）方田。刘徽说“以御田畴界域”，解决田地面积问题，给出若干直线形、曲线形的面积的抽象公式。更重要的，提出世界上最早的系统、完整、抽象的分数四则运算法则。
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（2）粟米。刘徽说“以御交质变易”，解决粟米互换问题。提出十分抽象的“今有术”，即比例算法。此法在后来的印度和西方后称为三率法。
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（3）衰分。刘徽说“以御贵贱禀税”，用“衰分术”、“返衰术”解决比例分配问题。后半章是贸易、取保、贷钱等应用题，应该用今有术求解。
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（4）少广。刘徽说“以御积幂方圆”，解决面积、体积的逆运算问题。提出了世界上最早的开平方、开立方的抽象程序。
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（5）商功。刘徽说“以御功程积实”，解决土方工程中工作量的分配问题。提出了若干多面体、圆体的抽象的体积公式。
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（6）均输。刘徽说“以御远近劳费”，解决赋税中的合理负担问题，是更为复杂的衰分问题。后半章是各种算术难题。
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（7）盈不足。刘徽说“以御隐杂互见”，解决盈亏类问题，并用盈不足术，通过两次假设解决一般数学问题，在世界数学史上影响巨大。
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（8）方程。“方程”即现今线性方程组，刘徽说“以御错糅正负”。提出了世界上最早的“方程术”即线性方程组解法，“正负术”即正负数加减法则，以及列“方程”的方法“损益”法。
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（9）勾股。刘徽说“以御高深广远”，提出了抽象的“勾股术”即勾股定理，给出了解勾股形的各种方法，提出了世界上最早的勾股数组通解公式，以及勾股容方、勾股容圆和一次测望问题。
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以上这些成就中，分数四则运算法则，比例问题算法，盈不足术，开方术，方程术，正负术，损益法，解勾股形方法及勾股数组通解公式等在世界数学史上占有重要地位，超前其他文化传统几个世纪甚至上千年。下面仅谈勾股问题。
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2．解勾股形
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《九章算术》勾股章的内容相当丰富而重要。今以“持竿出户”问为例，以见一斑。此问是：
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今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问：户高、广、邪各几何？
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答曰：广六尺，高八尺，邪一丈。
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术曰：从、横不出相乘，倍而开方除之。所得，加从不出，即户广；加横不出，即户高；两不出加之，得户邪。
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刘徽认为门户的高、广、邪构成一个勾股形，这是已知勾弦差、股弦差求勾、股、弦的问题，如图2.2所示。《九章算术》的术文应用了公式：
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