1701097650
以上这些成就中,分数四则运算法则,比例问题算法,盈不足术,开方术,方程术,正负术,损益法,解勾股形方法及勾股数组通解公式等在世界数学史上占有重要地位,超前其他文化传统几个世纪甚至上千年。下面仅谈勾股问题。
1701097651
1701097652
2.解勾股形
1701097653
1701097654
《九章算术》勾股章的内容相当丰富而重要。今以“持竿出户”问为例,以见一斑。此问是:
1701097655
1701097656
今有户不知高、广,竿不知长短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问:户高、广、邪各几何?
1701097657
1701097658
答曰:广六尺,高八尺,邪一丈。
1701097659
1701097660
术曰:从、横不出相乘,倍而开方除之。所得,加从不出,即户广;加横不出,即户高;两不出加之,得户邪。
1701097661
1701097662
刘徽认为门户的高、广、邪构成一个勾股形,这是已知勾弦差、股弦差求勾、股、弦的问题,如图2.2所示。《九章算术》的术文应用了公式:
1701097663
1701097664
1701097665
1701097666
1701097667
1701097668
1701097669
1701097670
刘徽记载了其推导方法。弦方c₂可以分解为股方b₂与一个面积为勾方a₂的折矩形,其宽为c-b,如图2.2(a)所示;亦可以分解为勾方a₂与一个面积为股方b₂的折矩形,其宽为c-a,如图2.2(b)所示。将其中一个旋转180°,叠合到另一个上,如图2.2(c)所示。考虑两折矩形,它们的面积之和是c₂,未填满弦方c₂中以a+b+c为边长的小正方形,却在两端长c-a,宽c-b的两矩形重合。因此,
1701097671
1701097672
1701097673
1701097674
1701097675
由
1701097676
1701097677
1701097678
1701097679
1701097680
便证明了上式。
1701097681
1701097682
此外,勾股章“引葭赴岸”问的术文应用了已知勾与股弦差求股、弦的公式。20世纪我国流传的中学数学读物中有所谓印度莲花问题,与这个问题相同,却晚出七八百年。数典不能忘祖,应该恢复这个趣味题的本来名称。“竹高折地”问的术文应用了已知勾与股弦和求股、弦的公式。1989年高考语文试卷的古文标点与翻译,就是这个题目。“户高多于广”问的术文应用了已知弦与勾股差求勾、股的公式。“甲乙同所立”与“甲乙俱出邑”二问在世界数学史上最早使用了勾股数组的通解公式:设(c+a)
:b=m:n,则
1701097683
1701097684
1701097685
1701097686
1701097687
3.《九章算术》的缺点
1701097688
1701097689
我们在表彰《九章算术》的成就的同时,不能忽视它的缺点。
1701097690
1701097691
首先就是没有任何数学定义,也没有任何推导和证明。当然,这并不是说《九章算术》在提出这些算法时没有某种形式的推导。
1701097692
1701097693
《九章算术》的编纂者没有把数学定义和数学推导编入,钱宝琮认为,这“与儒家的传统思想有密切关系”。他特别指出荀派儒学对概念含义的“约定俗成”的思想和对学问“学有所止”的主张对《九章算术》编纂工作有重大影响。
1701097694
1701097695
其次,受儒家传统思想的束缚,《九章算术》没有突破“九数”的限制。这一方面使九章的分类不尽合理,有的按应用分类,有的按数学方法分类,标准不同一;另一方面,对当时提出的许多新问题,编纂者未能与时俱进,打破“九数”的格局,设置新的类别,而是将一些题目硬塞入衰分章和均输章,不伦不类。
1701097696
1701097697
第三,补入衰分章的非衰分类问题,均输章的非均输类问题,以及勾股章的解勾股形问题,未能抽象出普世性术文。我们估计,这一部分大约是张苍、耿寿昌等补充的。这与西汉时代人们的抽象思维能力远远低于战国有关。
1701097698
1701097699
(三)《九章算术》在中国和世界数学史上的地位
[
上一页 ]
[ :1.70109765e+09 ]
[
下一页 ]