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1701097600 其术文虽未离开日数这种具体对象,但没有具体数字的运算,对同一种问题都是适应的。在均输章此问之下,长安至齐等问,以及粟米章今有术、衰分章衰分术、返衰术的例题,勾股章的持竿出户等问也都是如此。
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1701097602 (2)具体问题的算草。衰分章的非衰分题目,均输章的非均输类的大部分题目,勾股章的解勾股形题目等问题都是如此。以勾股章开门去阃问为例:
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1701097604 今有开门去阃,不合二寸。问:门广几何?
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1701097606 答曰:一丈一寸。
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1701097608 术曰:以去阃一尺自乘。所得,以不合二寸半之而一。所得,增不合之半,即得门广。
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1701097610 术文以题目的具体数字入算。
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1701097612 这部分内容共有50个题目,显然都是以题目为中心的,术文只是题目的演算细草,计算程序是正确的,尽管第(1)种的术文,对某一种问题具有普适性,却不具有《九章算术》大多数术文那样高度的抽象性、广泛的普适性等特点。
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1701097614 很显然,不能将《九章算术》归结为一题、一答、一术的“应用问题集”。我认为,数学史上起码存在三种不同体例的著作,一是像欧几里得《几何原本》那样,形成一个公理化体系;一是像丢番图的《算术》那样的应用问题集;三是以《九章算术》的主体部分为代表的以算法为中心,算法统率例题的形式。
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1701097616 《九章算术》的这些体例,在《算数书》中全都有。
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1701097618 2.《九章算术》的编纂
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1701097620 《九章算术》的体例多种多样,不统一。因此,它肯定不是一人一时编写的,而是经过许多世代,若干人的劳动积累而成的,这是学术界的共识。然而,具体到什么时候编纂的,却存在不同的看法。魏刘徽说:
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1701097622 周公制礼而有九数,九数之流则《九章》是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自始厥后,汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故校其目则与古或异,而所论者多近语也。
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1701097624 这是现存资料中关于《九章算术》编纂的最早的描述。自清中叶的戴震起,便否认刘徽的说法。20世纪30~70年代,学术界占统治地位的说法是钱宝琮提出的《九章算术》成书于公元1世纪。实际上,戴震、钱宝琮否认刘徽的说法的论据,大都已被历史文献和出土文物所否定。对文献中关于“九数”的记载以及《九章算术》的体例和结构的分析,对《九章算术》所反映的物价的全面分析,无一不证明刘徽说法的正确性。《算数书》尽管不是《九章算术》的前身,然而《算数书》所反映的先秦的数学成就,也为刘徽的说法提供了佐证。因此,刘徽的说法,是最准确的。就是说,在先秦已经存在某种形态的《九章算术》,它在秦火及秦末战乱中遭到破坏。西汉张苍(?~前152年)、耿寿昌(公元前1世纪)搜集遗残,加以删补,编定了《九章算术》。
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1701097626 (二)《九章算术》的内容和成就——以解勾股形为例
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1701097628 1.《九章算术》各章的内容
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1701097630 《九章算术》分九章,其各章的数学方法与要解决的问题如下:
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1701097632 (1)方田。刘徽说“以御田畴界域”,解决田地面积问题,给出若干直线形、曲线形的面积的抽象公式。更重要的,提出世界上最早的系统、完整、抽象的分数四则运算法则。
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1701097634 (2)粟米。刘徽说“以御交质变易”,解决粟米互换问题。提出十分抽象的“今有术”,即比例算法。此法在后来的印度和西方后称为三率法。
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1701097636 (3)衰分。刘徽说“以御贵贱禀税”,用“衰分术”、“返衰术”解决比例分配问题。后半章是贸易、取保、贷钱等应用题,应该用今有术求解。
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1701097638 (4)少广。刘徽说“以御积幂方圆”,解决面积、体积的逆运算问题。提出了世界上最早的开平方、开立方的抽象程序。
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1701097640 (5)商功。刘徽说“以御功程积实”,解决土方工程中工作量的分配问题。提出了若干多面体、圆体的抽象的体积公式。
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1701097642 (6)均输。刘徽说“以御远近劳费”,解决赋税中的合理负担问题,是更为复杂的衰分问题。后半章是各种算术难题。
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1701097644 (7)盈不足。刘徽说“以御隐杂互见”,解决盈亏类问题,并用盈不足术,通过两次假设解决一般数学问题,在世界数学史上影响巨大。
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1701097646 (8)方程。“方程”即现今线性方程组,刘徽说“以御错糅正负”。提出了世界上最早的“方程术”即线性方程组解法,“正负术”即正负数加减法则,以及列“方程”的方法“损益”法。
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1701097648 (9)勾股。刘徽说“以御高深广远”,提出了抽象的“勾股术”即勾股定理,给出了解勾股形的各种方法,提出了世界上最早的勾股数组通解公式,以及勾股容方、勾股容圆和一次测望问题。
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