1701097742
1701097743
其次，可以使我们更加清晰地认识刘徽。如果将刘徽注都看成是刘徽的思想，那么刘徽是一个成就极大、但思想混乱的数学家。在刘徽注中剔除了“采其所见”者，那么，一位成就极大、逻辑清晰、思想深邃的刘徽，便跃然纸上。
1701097744
1701097745
还有，对《九章算术》的校勘特别重要。
1701097746
1701097747
（二）算之纲纪——率
1701097748
1701097749
1．刘徽以前关于“率”的使用
1701097750
1701097751
“率”是今天还在使用的一个重要的数学概念。它的起源相当早，其本义是标准、法度、准则。相关的各种东西，在同一数量标准下有不同的数量表现，它们就构成这些东西的率。《孟子》、《墨子》等先秦典籍已使用数学意义的“率”。《周髀算经》和《九章算术》在不少地方使用了“率”，比如上面提到的勾股数组的通解公式就是通过“率”表示的。
1701097752
1701097753
2．刘徽关于“率”的定义和性质
1701097754
1701097755
刘徽在《九章算术》》方田章经分术注中提出了“率”的定义：
1701097756
1701097757
凡数相与者谓之率。
1701097758
1701097759
“相与”在这里是相关的意思。比率是最常见的率，但率的含义比比率宽泛得多。现在的数学术语以及英、法、拉丁、希腊等文字都找不到能与之对应的词。我们翻译法文版时只好用汉语拼音“lv”。刘徽进而提出了率的性质：
1701097760
1701097761
凡所得率者，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。
1701097762
1701097763
刘徽把分子和分母看成率关系。这与现代数学关于分数的定义基本一致。
1701097764
1701097765
3．率是“算之纲纪”
1701097766
1701097767
利用率的上述性质，可以对率进行各种变换．刘徽说：
1701097768
1701097769
齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。约以聚之，乘以散之，齐同以通之，此其算之纲纪乎！
1701097770
1701097771
刘徽将率的应用拓展到《九章算术》的大部分术文和200多个题目，不仅深入到各种算术问题，而且在面积、体积、勾股和测望问题中，以及方程术中都使用了率。率确实成为统率各种算法的纲纪。
1701097772
1701097773
（三）无穷小分割方法和极限思想
1701097774
1701097775
1．刘徽割圆术的主旨和求圆周率的程序
1701097776
1701097777
刘徽的圆田术注即割圆术分两部分。第一部分是证明《九章算术》的圆面积公式“半周半径相乘得积步”。第二部分是求圆周率。
1701097778
1701097779
《九章算术》提出了圆面积公式：
1701097780
1701097781
半周半径相乘得积步。
1701097782
1701097783
用现代符号写出，就是：
1701097784
1701097785
1701097786
1701097787
1701097788
其中S，L，r分别是圆面积、圆周长和半径。刘徽之前是以圆内接正六边形的周长作为圆周长，以圆内接正十二边形的面积作为圆面积，使用出入相补原理，推证这个公式的。刘徽认为，这种推证基于周三径一，因而实际上并没有严格证明圆面积公式，遂提出了使用极限思想和无穷小分割方法的证明方法，如图2.5所示。他说：
1701097789
1701097790
1701097791