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又按：为图。以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
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这是对《九章算术》圆面积公式（2-1）的一个完整的证明。刘徽首先使用了几个极限过程。如图2.6（a）、（b）所示，他从圆内接正六边形开始割圆。设第n次分割得到正6·2ⁿ
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边形的面积为Sn，刘徽认为
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同时，
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刘徽考虑与圆合体的正无穷多边形，将它分割成以圆心为顶点，以每边为底的无穷多个小等腰三角形，每个的高r，设每个的底边长l，面积为A，如图2.6（c）所示。显然rl＝2A，所有这些小等腰三角形的底边之和为圆周长：∑l＝L，它们的面积之和等于圆面积：∑A＝S。因此，∑lr＝Lr＝∑2A＝2S，故得到（2-1）式，完成了证明。
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刘徽指出，公式（2-1）中的周、径，是“至然之数”，不是周三径一，因此需要求其“至然之数”，即圆周率，从而提出了求圆周率近似值的程序（如图2.7所示）。
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他仍从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，得到圆内接正12，24，48，96，192边形，援引勾股定理，计算出它们的边长以及正96边形的面积，正192边形的面积。刘徽求出差幂然后说：
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加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十，则出于圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率，而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数。……令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。
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刘徽由计算得出因此取314寸2作为圆面积的近似值。将这个近似值与半径1尺代入公式（2-1），求出圆周长的近似值6尺2寸8分。将圆的直径与周长相约，便得到圆周率十分明显，刘徽的割圆术，其主旨是证明《九章算术》的圆面积公式（2-1）。他求圆周率的方法，是以被他首先证明了的圆面积公式（2-1）为前提的。刘徽在证明公式（2-1）时用到了极限思想与无穷小分割方法，而在求圆周率时，并未用到极限思想和无穷小分割，只是极限思想在近似计算中的应用。刘徽的整个圆田术注，论点明确，论据充分，逻辑清晰，没有任何费解之处。
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2．刘徽原理和刘徽的多面体体积理论
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刘徽用极限思想和无穷小分割方法对刘徽原理的证明更加高明。一个长方体沿相对两棱剖开，就得到两个堑堵。将一个堑堵（如图2.8（c）所示）沿某个顶点到相对棱剖开，就得到一个阳马（如图2.8（a）所示），一个鳖腝（如图2.8（b）所示）。显然，阳马是直角四棱锥，鳖腝是四面皆为勾股形的四面体。《九章算术》给出了阳马的体积公式：
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又给出了鳖腝的体积公式：
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