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……三一三十一，三二六十二，逢三进成十。……
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后来人们又创造了撞归法口诀。
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乘除捷算法使口念口决很快，手摆算筹很慢，“得心无法应手”，改革计算工具成为迫切需要，珠算便最迟在南宋应运而生，（如图2.16所示是南宋《茗园赌市图》，其中有一把珠算盘，左下是其放大图）。
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2．勾股容圆
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宋金时期，道教洞渊派的学者在《九章算术》勾股容圆术基础上研究了同一个圆和各种勾股形的相切关系，给出了由勾股形的三边求圆径的9种公式。李冶又补充了1种，共有10种容圆关系：
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勾股容圆即内切于勾股形的圆径公式：
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以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂，以求弦，复加入勾股共，以为法。
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此即《九章算术》的勾股容圆公式：
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勾上容圆即圆心在勾上而切于股与弦的圆径公式：
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以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂，以求弦，加入股，以为法。
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此即公式：
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股上容圆即圆心在股上而切于勾与弦的圆径公式：
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以勾股相乘，倍之为实。以勾股幂求弦，加入勾，以为法。
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此即公式：
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勾股上容圆即圆心在勾股交点而切于弦的圆径公式：
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以勾股相乘，倍之为实。并勾股幂，如法求弦，以为法。
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此即公式：
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