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三、宋元数学——中国筹算数学的高潮
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（一）宋元主要的数学家和数学著作
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1．贾宪和《黄帝九章算经细草》
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贾宪的《黄帝九章算经细草》因被南宋杨辉取作《详解九章算法》的底本而尚存全书的2/3。贾宪提高了《九章算术》的理论水平，创造贾宪三角，增乘开方法，是宋元数学高潮的主要奠基者。
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2．秦九韶和《数书九章》
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秦九韶（1208～约1261年），多才多艺，支持以吴潜为首的抗战派，遭到贾似道迫害。投靠贾似道的刘克庄和周密对其极尽攻击之能事。但是，秦九韶的《数书九章序》却反映出他是一位具有实事求是的科学精神与创新精神的数学家，是一位关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，主张抗战的学者型的正直官吏。
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秦九韶的《数书九章》九类81题，如图2.14所示。其中大衍总数术系统叙述了一次同余方程组解法；正负开方术发展了增乘开方法，完整地解决了求高次方程正根的问题；使用了完整的十进小数记法；还有世界文明史上记载最早的测雨器、量雪器。
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3．杨辉和《详解九章算法》、《杨辉算法》
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杨辉，生平不详。撰《详解九章算法》十二卷；后来又撰《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除捷法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。后三种常合刻为《杨辉算法》，如图2.14所示。
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《详解九章算法》含有《九章算术》本文、刘徽注、李淳风等注释、贾宪细草和杨辉详解五种内容，今存约2/3。提出了几个二阶等差级数求和公式。
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《杨辉算法》总结民间乘除捷算法与斤两法，对纵横图的研究很有贡献。
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4．李冶和《测圆海镜》、《益古演段》
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李冶（1192～1279年）青年时即是名重中原的学者，入元后长期隐居于山西北部的道观，1251年住持元氏县封龙书院。1260年被元主忽必烈聘为翰林学士。所著《测圆海镜》在“洞渊九容”基础上讨论了勾股形与圆的十种基本关系，是中国现存最早的使用天元术的著作，有完整的十进小数的记法。另一著作《益古演段》是用天元术解决北宋蒋周《益古集》（如图2.15所示）。
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5．朱世杰和《算学启蒙》、《四元玉鉴》
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朱世杰，燕（今北京）人，是中国古代少有的职业数学家和数学教育家。
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其《算学启蒙》，包括了从乘除到增乘开方法、天元术、垛积术等当时数学各方面的知识，形成了一个比较完整的体系。
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《四元玉鉴》，三卷，深入讨论一元高次方程的解法和多元高次方程组的消元法；形成了高阶等差级数有限项求和问题的完整体系，还有高次招差法等重要成就，其招差公式三百多年后英国的牛顿才研究得出。
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（二）宋元数学的主要成就
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宋元的数学成就比较深奥、复杂，在这里只能提纲挈领地讲一下。
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1．筹算乘除捷算法与珠算盘的产生
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唐中叶之后人们着手简化筹算乘除法，通常称为乘除捷算法。一是化三行布算为一行布算，如a×2.45＝a×7×7÷10÷2。二是化乘除为加减，如2454×1.7＝2454×17÷10＝（24540＋2454×7）÷10。
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归除是在九归与减法基础上发展起来的。《算学启蒙》中的九归歌诀与现今的珠算口诀形式已经基本一致，如