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我国音乐界前辈、音乐史家杨荫浏读完库特纳论文后，迫不及待地叫我到他府上，指着那篇文章给我看，语重心长地说：“不知道批林批孔能不能批这个”。“你回去好好读读，看看他玩什么数学手段”，“有机会写篇文章，和他理论理论”。从1984至1988年间，笔者曾写下多篇有关朱载堉数学、乐律方面文章和一本书《朱载堉——明代的科学和艺术巨星》。库特纳得悉我的书后，即复信告知：他的汉字“不识一百个”，只是于1949年前曾“在中国上海圣约翰大学教过三年英语”；并表示愿意修正自己的学术看法。由此看来，他是个真正的学者。
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然而，问题并未完全、彻底解决。朱载堉的等程律理论传播到欧洲的证据尚付阙如。若不解决此问题，只能得出朱载堉与斯蒂芬各自独立发现等程律数学理论。
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十、等程律数学方法西传之可能
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大约1995年，美国北得克萨斯大学音乐学教授卓仁祥先生（Dr. Prof. Gene J Cho）也开始研究朱载堉，并为此特来北京与本文笔者讨论有关问题。卓教授通过在欧美各大图书馆寻觅史料，终有所发现：西学东渐的标志性人物、传教士利玛窦（Matteo Ricci, 1552～1610年）曾两次在致书罗马教皇中涉及朱载堉及其改历建议。我们将此事件的前因后果作如下概述。
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先必须了解斯蒂芬《论歌唱艺术的理论》一文如何求解等程律？
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他在文中定义起始音为1，八度（六个全音）为1/2，，正确地写下了等程律的十二律开方表示式：
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令人奇怪的是，这位数学家未对半音直接作开方运算。原本很简单的事，他却复杂化了。他令起始音的弦长为10000，则高倍音弦长为5000。然后解出“三个半”全音（对应于）弦长为6674（斯蒂芬不直接算，而将该数先换算成，“二个半”全音的弦长为7491（算此弦长时，中间另有繁长的数学变换），也即它们与起始音之比（音程）分别为和。他计算得到的半音为1.0595。所有十二律中，相邻两律的音程（即半音或等比数列公比数）在
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之间。与朱载堉的相关计算及数值比较，就显得方法累赘、数值不精。
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斯蒂芬在《论歌唱艺术的理论》一文中强调荷兰语是音乐艺术和他进行乐律计算的基础。至于该文的写作时间，库特纳等人都以斯蒂芬《论算术》（1585年）的法文论文为依据。最初，人们估计《论歌唱艺术的理论》完成于1608年，后提前到1600年，或许得知朱载堉上进《历书》在1595年的缘故；又后，又提前至1585年，显然是因为朱载堉于1584年为《律学新说》作序之因。现在完全证实朱载堉于1581年之前完成创建等程律的全部工作，并有了《律学新说》、《律吕精义》的初稿。斯蒂芬独立完成等程律的创建工作，无论在时间上或数学计算上都是令人怀疑的。
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自从1582年耶稣会士利玛窦入华后，正如李约瑟所说：从中国“发出一股书简的洪流，将中国文化内容的实质告知西方世界。”正是利玛窦本人先后两次向罗马教皇报告关于朱载堉上进《历书》事，同时表达速派通晓历法的数学家到中国的期盼之情。其中指出，“朱世子于1595年10月向礼部进呈《历书》的同时，提出如下意见：‘新近闻悉，历法已经出现差误并且需要修订’”。实际上，朱载堉上进《历书》的时间为万历二十三年六月十九日（1595年7月25日）。当年10月应是利玛窦本人闻悉相关事件，甚至读毕《历书》，动笔给罗马教皇写信的时间。由此可以想到，朱载堉关于等程律五度和四度计算方法的两个算式也首次由利玛窦报告了欧洲学术界。他只要一句话足够了：“我知道中国人如何使五度轮成为一个闭合的圆，只要以10000/6674或10000/7491代替2/3就成功了。”可惜，利玛窦无足够耐心将朱载堉的数据抄全，以致斯蒂芬的数据不精。斯蒂芬闻悉此讯，作为数学家的他就可以轻而易举地写下他的荷兰文论文。他在论文中之所以不直接作开方计算、并着意繁衍数学就可以理解了。再则，他确实从来自中国的信息中作出了一项惊动欧洲的发明，即从中国加帆手推车信息中发明了他的陆地帆车（“陆地快艇”）。
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斯蒂芬写完论文后，尚无信心，便将手稿寄给他的一个懂音乐的朋友审阅。这个朋友读毕后就将它搁置一旁。斯蒂芬本人也不甚关心此文。就这样，直到1884年，人们才又发现这份手稿。斯蒂芬手稿遗失了，此后才有法国梅森再提出等程律。利玛窦也在1610年作古于北京，而其后却有更多耶稣会士来华。这些耶稣会士完全可能再一次向欧洲报告有关等程律的学术信息。
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万历三十四年八月初四（1606年9月5日），朱载堉上进《乐律全书》，连同他让出国爵一事又一次轰动京城。此时先后有一大批传教士来华。其中，法国耶稣会士金尼阁（Nicolas Trigault, 1577～1628年）、德国的邓玉函（Jean Terrenz, 1576～1630年）和汤若望（J.A.S.von Ball, 1591～1666年），他们在中西间的通讯联络尤为勤快。金尼阁在河南传教三个月，又于1613～1617年返欧；邓玉函与近代物理学开创人伽利略（G.Galilei, 1564～1642年）及其父亲都是意大利灵采研究院（Accademia dei Lincei）院士，而天文物理学家开普勒（J.Kepler, 1571～1630年）是这个研究院的通讯院士。邓玉函与汤若望又是明末崇祯历局聘请的外籍官员。他们不可能不将朱载堉的乐律理论告知欧洲，尤其是伽利略和开普勒等人。为了得到准确推算日食时间，邓玉函多次致信开普勒，甚至对伽利略受宗教裁判表示同情之心。而在欧洲，博学多才的梅森就完全有可能获得朱载堉的学术信息。
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梅森本人不仅对数学、物理、天文、音乐、哲学皆有所造就，且与社会各界有广泛联系，被誉为“科学家中伟大的中介人”。他在1636年出版的《和谐通论》（（斜体）Harmonie Universelle（斜体））中以公比数1.059463提出了等程律。学术界长期怀疑这比数来自朱载堉的著作，但他未指明其来源或引注文献。为何？
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众所周知，伽利略于1616年因宣传日心说而违犯教规受到传讯。1630年，他又出版《两大世界体系对话》，公然宣传日心说，又造成他1634年受宗教裁判所审判。由此，欧洲大陆科学界曾沉寂一时，科学家小心谨慎。两年后，梅森出版《和谐通论》。此时隐讳学术信息的来源，读者们是可理解的。孰不知这就造成了“欧洲等程律调律音阶的起源是模糊的”历史公断。
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然而，自梅森之后，迄德国物理学家、生理与心理音乐学家赫姆霍茨（1821～1894）时代，人们脑海中还遗有“王子载堉”对等程律贡献的种种传说，说他是耶稣降生前1500年的伟人，说他将八度分成十二个半音，莫衷一是。从社会学角度看，这些传说正是当年耶稣会士传话的考古遗迹。
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1997年11月1日，江泽民主席在美国哈佛大学演讲中说：“明代朱载堉首创十二平均律，后来被认定为世界通行的标准调音。”
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这是对20世纪100年来研究朱载堉及其音乐理论的肯定和结论，也是对研究者们的鼓励。
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十一、管乐器的末端效应与管口校正
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前已述及，弦振动是横波；管乐器是管内空气柱的振动，它是纵波或疏密波。由于惯性，空气柱的振动会延伸到管口外稍许，这称为管乐器的末端效应。也因此，同长的弦与管并不同音。若其同音，则要对管乐器作管口校正。举例来说，9寸长的弦音必略高于9寸之管音；9寸管若为C音，则同径之6寸管绝非G音。管口校正由此而来。
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