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科学与假设 [:1701104939]
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科学与假设 第一编 数与量
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科学与假设 [:1701104940]
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第一章 数学推理的本性
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Ⅰ
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数学科学的可能性本身似乎是一个不可解决的矛盾。如果这门科学只是在外观上看来是演绎的，那么没有人想去怀疑的、完美的严格性从何而来呢？相反地，如果数学所阐明的一切命题能够依据形式逻辑的规则相互演绎，那么它为什么没有变成庞大的同义反复呢？三段论法不能告诉我们本质上新颖的东西，假使每一事物都来自同一律，那么每一事物都必定能归入其中。这样一来，我们难道将要承认，所有那些充斥许多书中的定理的阐明无非是A即A的转弯抹角的说法？
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毋庸置疑，我们能够返回到公理，它们处在所有这些推理的源头。如果我们断定这些推理不能化归为矛盾律，如果我们在其中甚至看到了不具有数学必然性的经验事实，那么我们还有把它们列入先验综合判断的对策。这不是解决困难，而只不过是使之洗炼而已；即使综合判断的本性在我们看来并不神秘，然而矛盾还不会消失，它只是后退了；三段论推理依然不能为给予它的材料添加任何东西；这些材料本身化归为几个公理，我们在结论中不会发现其他东西。
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无论什么定理，如果没有新公理参与它的证明，它就不会是新的；推理只能借用直接的直觉给我们以即时自明的真理；它恐怕只是中间的寄生物，因此我们难道没有充分的理由去询问，整个三段论工具是否只是有助于掩饰我们的借用？
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翻开任何一本数学书，这种矛盾将会给我们以更大的冲击；在每一页上，作者都要阐述他概括一些已知的命题的意图。数学方法是从特殊行进到一般吗？假若如此，为何又能把它称为演绎的呢？
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最后，如果数学是纯粹分析的，或者它能够从少数综合判断通过分析导出，那么博大精深的心智似乎一眼就能察觉它的所有真理；不仅如此，我们甚至可以希望，人们总有一天会发明一种足够简单的语言表达它们，使它们在通常的理智看来也是自明的。
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如果我们不赞同这些结果，那就必须承认，数学推理本来就有一种创造能力，从而不同于三段论。
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该差别甚至必须是深刻的。例如，按照某一法则，用于两个相等的数的同一个一致运算将给出恒等的结果，我们在频繁使用这一法则时找不出其中的奥秘。
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所有这些推理方式，不管它们是否可化归为名副其实的三段论，它们依然保持着分析的特征，正因为如此，它们才是软弱无力的。
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Ⅱ
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这里要讨论的是老问题；莱布尼兹（Leibnitz）企图证明2加2得4；让我们看一下他的证明吧。
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我将假定数1已被定义，又假定运算x＋1意谓把单位1加在已知数x上。
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这些定义不管是什么，它们都没有进入推理过程。
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然后我通过等式
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(1)1＋1＝2；(2)2+2＝3；(3)3+1＝4
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定义数2，3和4。
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用同样的方式，我通过下述关系定义运算x＋2：
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(4)x＋2＝(x＋1)＋1。
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由于预先假定了这一切，于是我们有
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由此可得
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2+2=4 证毕。