1701105329
1701105330
不能否认，这个推理是纯粹分析的。可是若问任何一个数学家：“这不是真正的证明（demonstration）”，他将会对你说：“这是核验（verification）。”我们仅限于比较两个纯粹约定的定义，并查明它们是恒等的；我们没有学到什么新东西。核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析的，正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。相反地，真的证明是富有成效的，因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。
1701105331
1701105332
等式2＋2＝4是如此易受核验，只因为它是特定的。数学中的每一个特定的阐述总是能够以这种相同的方式核验。但是，如果数学能够划归为一系列这样的核验，它就不会是科学了。例如，棋手并没有在赢棋中创立科学。离开普遍性便没有科学。
1701105333
1701105334
人们甚至可以说，精密科学的真正目的就在于使我们省却这些直接的核验。
1701105335
1701105336
Ⅲ
1701105337
1701105338
因此，让我们看看几何学家是如何工作的，并且力图把握他的工作过程。
1701105339
1701105340
这项任务并非没有困难；随便翻开一本书，并分析其中的任何证明，这是不够的。
1701105341
1701105342
我们首先必须撇开几何学，由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难，因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由，我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想，也就是说，必须在算术中去寻找。
1701105343
1701105344
选择还是必要的；在数论的比较高深的部分，原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼，以至于变得难以分析它们。
1701105345
1701105346
因此，正是在算术的开头，我们必须期待找到我们寻求的说明，但是恰恰是在最基本的定理的证明中，发生了这样的情况：经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们；他们服从了必要性；初学者没有受到真正的数学严格性的训练；他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙；企图使他们过早地变得更为精密，那不过是白费时间；他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的，而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
1701105347
1701105348
为了逐渐地习惯于这种完全的严格性——它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上，为什么要有如此长的必要的准备呢？这是一个逻辑的和心理的问题，完全值得加以研究。
1701105349
1701105350
但是，我们不去处理它；它不是我们的目的；我们必须重新证明最基本的定理，为了不使初学者烦恼，我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们，而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
1701105351
1701105352
加法的定义。我假定已经定义了运算x＋1，即把数1加到已知数x上。
1701105353
1701105354
这个定义不管是什么，都没有进入我们的后继的推理之中。
1701105355
1701105356
我们现在要定义运算x＋a，就是把数a加到已知数x上。
1701105357
1701105358
假定我们定义了运算
1701105359
1701105360
x＋(a－1)，
1701105361
1701105362
则运算x＋a将用等式
1701105363
1701105364
1701105365
1701105366
1701105367
来定义。
1701105368
1701105369
只有我们知道x＋（a－1）是什么，然后我们才能知道x＋a是什么，正如我假定过的，从我们知道x＋1是什么开始，我们就能相继地“借助递归”定义运算x＋2，x＋3等等。
1701105370
1701105371
这个定义值得注意一下；它具有一种特殊的性质，这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式（1）包含着无穷个不同的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。
1701105372
1701105373
加法的特性——结合性。我说
1701105374
1701105375
a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c．
1701105376
1701105377
事实上，该定理对c＝1而言为真；于是可写出
1701105378