1701105291
无论什么定理，如果没有新公理参与它的证明，它就不会是新的；推理只能借用直接的直觉给我们以即时自明的真理；它恐怕只是中间的寄生物，因此我们难道没有充分的理由去询问，整个三段论工具是否只是有助于掩饰我们的借用？
1701105292
1701105293
翻开任何一本数学书，这种矛盾将会给我们以更大的冲击；在每一页上，作者都要阐述他概括一些已知的命题的意图。数学方法是从特殊行进到一般吗？假若如此，为何又能把它称为演绎的呢？
1701105294
1701105295
最后，如果数学是纯粹分析的，或者它能够从少数综合判断通过分析导出，那么博大精深的心智似乎一眼就能察觉它的所有真理；不仅如此，我们甚至可以希望，人们总有一天会发明一种足够简单的语言表达它们，使它们在通常的理智看来也是自明的。
1701105296
1701105297
如果我们不赞同这些结果，那就必须承认，数学推理本来就有一种创造能力，从而不同于三段论。
1701105298
1701105299
该差别甚至必须是深刻的。例如，按照某一法则，用于两个相等的数的同一个一致运算将给出恒等的结果，我们在频繁使用这一法则时找不出其中的奥秘。
1701105300
1701105301
所有这些推理方式，不管它们是否可化归为名副其实的三段论，它们依然保持着分析的特征，正因为如此，它们才是软弱无力的。
1701105302
1701105303
Ⅱ
1701105304
1701105305
这里要讨论的是老问题；莱布尼兹（Leibnitz）企图证明2加2得4；让我们看一下他的证明吧。
1701105306
1701105307
我将假定数1已被定义，又假定运算x＋1意谓把单位1加在已知数x上。
1701105308
1701105309
这些定义不管是什么，它们都没有进入推理过程。
1701105310
1701105311
然后我通过等式
1701105312
1701105313
(1)1＋1＝2；(2)2+2＝3；(3)3+1＝4
1701105314
1701105315
定义数2，3和4。
1701105316
1701105317
用同样的方式，我通过下述关系定义运算x＋2：
1701105318
1701105319
(4)x＋2＝(x＋1)＋1。
1701105320
1701105321
由于预先假定了这一切，于是我们有
1701105322
1701105323
1701105324
1701105325
1701105326
由此可得
1701105327
1701105328
2+2=4 证毕。
1701105329
1701105330
不能否认，这个推理是纯粹分析的。可是若问任何一个数学家：“这不是真正的证明（demonstration）”，他将会对你说：“这是核验（verification）。”我们仅限于比较两个纯粹约定的定义，并查明它们是恒等的；我们没有学到什么新东西。核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析的，正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。相反地，真的证明是富有成效的，因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。
1701105331
1701105332
等式2＋2＝4是如此易受核验，只因为它是特定的。数学中的每一个特定的阐述总是能够以这种相同的方式核验。但是，如果数学能够划归为一系列这样的核验，它就不会是科学了。例如，棋手并没有在赢棋中创立科学。离开普遍性便没有科学。
1701105333
1701105334
人们甚至可以说，精密科学的真正目的就在于使我们省却这些直接的核验。
1701105335
1701105336
Ⅲ
1701105337
1701105338
因此，让我们看看几何学家是如何工作的，并且力图把握他的工作过程。
1701105339
1701105340
这项任务并非没有困难；随便翻开一本书，并分析其中的任何证明，这是不够的。