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我们首先必须撇开几何学,由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难,因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由,我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想,也就是说,必须在算术中去寻找。
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选择还是必要的;在数论的比较高深的部分,原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼,以至于变得难以分析它们。
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因此,正是在算术的开头,我们必须期待找到我们寻求的说明,但是恰恰是在最基本的定理的证明中,发生了这样的情况:经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们;他们服从了必要性;初学者没有受到真正的数学严格性的训练;他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙;企图使他们过早地变得更为精密,那不过是白费时间;他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的,而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
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为了逐渐地习惯于这种完全的严格性——它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上,为什么要有如此长的必要的准备呢?这是一个逻辑的和心理的问题,完全值得加以研究。
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但是,我们不去处理它;它不是我们的目的;我们必须重新证明最基本的定理,为了不使初学者烦恼,我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们,而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
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加法的定义。我假定已经定义了运算x+1,即把数1加到已知数x上。
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这个定义不管是什么,都没有进入我们的后继的推理之中。
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我们现在要定义运算x+a,就是把数a加到已知数x上。
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假定我们定义了运算
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x+(a-1),
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则运算x+a将用等式
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来定义。
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只有我们知道x+(a-1)是什么,然后我们才能知道x+a是什么,正如我假定过的,从我们知道x+1是什么开始,我们就能相继地“借助递归”定义运算x+2,x+3等等。
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这个定义值得注意一下;它具有一种特殊的性质,这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来;等式(1)包含着无穷个不同的定义,只要人们知道前者,每一个定义都有意义。
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加法的特性——结合性。我说
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a+(b+c)=(a+b)+c.
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事实上,该定理对c=1而言为真;于是可写出
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a+(b+1)=(a+b)+1,
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该式除符号有差别外,无非是我刚才定义加法的(1)式。
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假定该定理对c=γ而言为真,我说它对c=γ+1亦为真。
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事实上,设
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(a+b)+γ=a+(b+γ),
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由此可得
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