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我们首先必须撇开几何学，由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难，因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由，我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想，也就是说，必须在算术中去寻找。
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选择还是必要的；在数论的比较高深的部分，原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼，以至于变得难以分析它们。
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因此，正是在算术的开头，我们必须期待找到我们寻求的说明，但是恰恰是在最基本的定理的证明中，发生了这样的情况：经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们；他们服从了必要性；初学者没有受到真正的数学严格性的训练；他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙；企图使他们过早地变得更为精密，那不过是白费时间；他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的，而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
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为了逐渐地习惯于这种完全的严格性——它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上，为什么要有如此长的必要的准备呢？这是一个逻辑的和心理的问题，完全值得加以研究。
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但是，我们不去处理它；它不是我们的目的；我们必须重新证明最基本的定理，为了不使初学者烦恼，我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们，而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
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加法的定义。我假定已经定义了运算x＋1，即把数1加到已知数x上。
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这个定义不管是什么，都没有进入我们的后继的推理之中。
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我们现在要定义运算x＋a，就是把数a加到已知数x上。
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假定我们定义了运算
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x＋(a－1)，
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则运算x＋a将用等式
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来定义。
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只有我们知道x＋（a－1）是什么，然后我们才能知道x＋a是什么，正如我假定过的，从我们知道x＋1是什么开始，我们就能相继地“借助递归”定义运算x＋2，x＋3等等。
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这个定义值得注意一下；它具有一种特殊的性质，这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式（1）包含着无穷个不同的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。
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加法的特性——结合性。我说
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a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c．
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事实上，该定理对c＝1而言为真；于是可写出
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a＋(b＋1)＝(a＋b)＋1，
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该式除符号有差别外，无非是我刚才定义加法的（1）式。
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假定该定理对c＝γ而言为真，我说它对c＝γ＋1亦为真。
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事实上，设
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(a＋b)＋γ＝a＋(b＋γ)，
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由此可得
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