打字猴:1.701105317e+09
1701105317 用同样的方式,我通过下述关系定义运算x+2:
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1701105319 (4)x+2=(x+1)+1。
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1701105321 由于预先假定了这一切,于是我们有
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1701105326 由此可得
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1701105328 2+2=4  证毕。
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1701105330 不能否认,这个推理是纯粹分析的。可是若问任何一个数学家:“这不是真正的证明(demonstration)”,他将会对你说:“这是核验(verification)。”我们仅限于比较两个纯粹约定的定义,并查明它们是恒等的;我们没有学到什么新东西。核验不同于真的证明,正因为它是纯粹分析的,正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果,是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。相反地,真的证明是富有成效的,因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。
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1701105332 等式2+2=4是如此易受核验,只因为它是特定的。数学中的每一个特定的阐述总是能够以这种相同的方式核验。但是,如果数学能够划归为一系列这样的核验,它就不会是科学了。例如,棋手并没有在赢棋中创立科学。离开普遍性便没有科学。
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1701105334 人们甚至可以说,精密科学的真正目的就在于使我们省却这些直接的核验。
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1701105338 因此,让我们看看几何学家是如何工作的,并且力图把握他的工作过程。
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1701105340 这项任务并非没有困难;随便翻开一本书,并分析其中的任何证明,这是不够的。
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1701105342 我们首先必须撇开几何学,由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难,因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由,我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想,也就是说,必须在算术中去寻找。
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1701105344 选择还是必要的;在数论的比较高深的部分,原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼,以至于变得难以分析它们。
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1701105346 因此,正是在算术的开头,我们必须期待找到我们寻求的说明,但是恰恰是在最基本的定理的证明中,发生了这样的情况:经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们;他们服从了必要性;初学者没有受到真正的数学严格性的训练;他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙;企图使他们过早地变得更为精密,那不过是白费时间;他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的,而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
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1701105348 为了逐渐地习惯于这种完全的严格性——它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上,为什么要有如此长的必要的准备呢?这是一个逻辑的和心理的问题,完全值得加以研究。
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1701105350 但是,我们不去处理它;它不是我们的目的;我们必须重新证明最基本的定理,为了不使初学者烦恼,我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们,而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
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1701105352 加法的定义。我假定已经定义了运算x+1,即把数1加到已知数x上。
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1701105354 这个定义不管是什么,都没有进入我们的后继的推理之中。
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1701105356 我们现在要定义运算x+a,就是把数a加到已知数x上。
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1701105358 假定我们定义了运算
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1701105360 x+(a-1),
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1701105362 则运算x+a将用等式
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