打字猴:1.701105367e+09
1701105367 来定义。
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1701105369 只有我们知道x+(a-1)是什么,然后我们才能知道x+a是什么,正如我假定过的,从我们知道x+1是什么开始,我们就能相继地“借助递归”定义运算x+2,x+3等等。
1701105370
1701105371 这个定义值得注意一下;它具有一种特殊的性质,这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来;等式(1)包含着无穷个不同的定义,只要人们知道前者,每一个定义都有意义。
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1701105373 加法的特性——结合性。我说
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1701105375 a+(b+c)=(a+b)+c.
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1701105377 事实上,该定理对c=1而言为真;于是可写出
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1701105379 a+(b+1)=(a+b)+1,
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1701105381 该式除符号有差别外,无非是我刚才定义加法的(1)式。
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1701105383 假定该定理对c=γ而言为真,我说它对c=γ+1亦为真。
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1701105385 事实上,设
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1701105387 (a+b)+γ=a+(b+γ),
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1701105389 由此可得
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1701105391 [(a+b)+γ]+1=[a+(b+γ)]+1.
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1701105393 或者根据定义(1)
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1701105395 (a+b)+(γ+1)=a+(b+γ+1)=a+[b+(γ+1)],
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1701105397 这表明,通过一连串的纯粹分析的演绎,该定理对γ+1为真。
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1701105399 由于对c=1为真,从而我们相继看到,它对c=2,c=3等也是如此。
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1701105401 交换性。1°我说
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1701105403 a+1=1+a.
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1701105405 该定理显然对a=1来说为真;我们能够用纯粹分析的推理来核验,若它对a=γ为真,则它对a=γ+1也为真;于是,
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1701105407 (γ+1)+1=(1+γ)+1=1+(γ+1);
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1701105409 现在该定理对a=1为真,因而它对a=2,a=3等亦为真,这可用下述说法来表述:所阐述的命题通过递归而证明。
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1701105411 2°我说
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1701105413 a+b=b+a.
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1701105415 该定理刚才针对b=1已被证明;可以用分析来核验,若它对b=β为真,则它对b=β+1亦为真。
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