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来定义。
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只有我们知道x＋（a－1）是什么，然后我们才能知道x＋a是什么，正如我假定过的，从我们知道x＋1是什么开始，我们就能相继地“借助递归”定义运算x＋2，x＋3等等。
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这个定义值得注意一下；它具有一种特殊的性质，这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式（1）包含着无穷个不同的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。
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加法的特性——结合性。我说
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a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c．
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事实上，该定理对c＝1而言为真；于是可写出
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a＋(b＋1)＝(a＋b)＋1，
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该式除符号有差别外，无非是我刚才定义加法的（1）式。
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假定该定理对c＝γ而言为真，我说它对c＝γ＋1亦为真。
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事实上，设
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(a＋b)＋γ＝a＋(b＋γ)，
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由此可得
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[(a＋b)＋γ]＋1＝[a＋(b＋γ)]＋1．
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或者根据定义（1）
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(a＋b)＋(γ＋1)＝a＋(b＋γ＋1)＝a＋[b＋(γ＋1)]，
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这表明，通过一连串的纯粹分析的演绎，该定理对γ＋1为真。
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由于对c＝1为真，从而我们相继看到，它对c＝2，c＝3等也是如此。
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交换性。1°我说
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a＋1＝1＋a．
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该定理显然对a＝1来说为真；我们能够用纯粹分析的推理来核验，若它对a＝γ为真，则它对a＝γ＋1也为真；于是，
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(γ＋1)＋1＝(1＋γ)＋1＝1＋(γ＋1)；
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现在该定理对a＝1为真，因而它对a＝2，a＝3等亦为真，这可用下述说法来表述：所阐述的命题通过递归而证明。
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2°我说
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a＋b＝b＋a．
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该定理刚才针对b＝1已被证明；可以用分析来核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β＋1亦为真。
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