打字猴:1.70110535e+09
1701105350 但是,我们不去处理它;它不是我们的目的;我们必须重新证明最基本的定理,为了不使初学者烦恼,我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们,而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
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1701105352 加法的定义。我假定已经定义了运算x+1,即把数1加到已知数x上。
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1701105354 这个定义不管是什么,都没有进入我们的后继的推理之中。
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1701105356 我们现在要定义运算x+a,就是把数a加到已知数x上。
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1701105358 假定我们定义了运算
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1701105360 x+(a-1),
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1701105362 则运算x+a将用等式
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1701105367 来定义。
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1701105369 只有我们知道x+(a-1)是什么,然后我们才能知道x+a是什么,正如我假定过的,从我们知道x+1是什么开始,我们就能相继地“借助递归”定义运算x+2,x+3等等。
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1701105371 这个定义值得注意一下;它具有一种特殊的性质,这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来;等式(1)包含着无穷个不同的定义,只要人们知道前者,每一个定义都有意义。
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1701105373 加法的特性——结合性。我说
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1701105375 a+(b+c)=(a+b)+c.
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1701105377 事实上,该定理对c=1而言为真;于是可写出
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1701105379 a+(b+1)=(a+b)+1,
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1701105381 该式除符号有差别外,无非是我刚才定义加法的(1)式。
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1701105383 假定该定理对c=γ而言为真,我说它对c=γ+1亦为真。
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1701105385 事实上,设
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1701105387 (a+b)+γ=a+(b+γ),
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1701105389 由此可得
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1701105391 [(a+b)+γ]+1=[a+(b+γ)]+1.
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1701105393 或者根据定义(1)
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1701105395 (a+b)+(γ+1)=a+(b+γ+1)=a+[b+(γ+1)],
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1701105397 这表明,通过一连串的纯粹分析的演绎,该定理对γ+1为真。
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1701105399 由于对c=1为真,从而我们相继看到,它对c=2,c=3等也是如此。
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