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但是，我们不去处理它；它不是我们的目的；我们必须重新证明最基本的定理，为了不使初学者烦恼，我们不是把这些定理留下的粗糙的形式给予他们，而是把训练有素的几何学家满意的形式给予他们。
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加法的定义。我假定已经定义了运算x＋1，即把数1加到已知数x上。
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这个定义不管是什么，都没有进入我们的后继的推理之中。
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我们现在要定义运算x＋a，就是把数a加到已知数x上。
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假定我们定义了运算
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x＋(a－1)，
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则运算x＋a将用等式
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来定义。
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只有我们知道x＋（a－1）是什么，然后我们才能知道x＋a是什么，正如我假定过的，从我们知道x＋1是什么开始，我们就能相继地“借助递归”定义运算x＋2，x＋3等等。
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这个定义值得注意一下；它具有一种特殊的性质，这种性质已经把它与纯粹逻辑的定义区别开来；等式（1）包含着无穷个不同的定义，只要人们知道前者，每一个定义都有意义。
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加法的特性——结合性。我说
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a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c．
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事实上，该定理对c＝1而言为真；于是可写出
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a＋(b＋1)＝(a＋b)＋1，
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该式除符号有差别外，无非是我刚才定义加法的（1）式。
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假定该定理对c＝γ而言为真，我说它对c＝γ＋1亦为真。
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事实上，设
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(a＋b)＋γ＝a＋(b＋γ)，
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由此可得
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[(a＋b)＋γ]＋1＝[a＋(b＋γ)]＋1．
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或者根据定义（1）
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(a＋b)＋(γ＋1)＝a＋(b＋γ＋1)＝a＋[b＋(γ＋1)]，
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这表明，通过一连串的纯粹分析的演绎，该定理对γ＋1为真。
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由于对c＝1为真，从而我们相继看到，它对c＝2，c＝3等也是如此。