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所有这些推理方式，不管它们是否可化归为名副其实的三段论，它们依然保持着分析的特征，正因为如此，它们才是软弱无力的。
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Ⅱ
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这里要讨论的是老问题；莱布尼兹（Leibnitz）企图证明2加2得4；让我们看一下他的证明吧。
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我将假定数1已被定义，又假定运算x＋1意谓把单位1加在已知数x上。
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这些定义不管是什么，它们都没有进入推理过程。
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然后我通过等式
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(1)1＋1＝2；(2)2+2＝3；(3)3+1＝4
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定义数2，3和4。
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用同样的方式，我通过下述关系定义运算x＋2：
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(4)x＋2＝(x＋1)＋1。
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由于预先假定了这一切，于是我们有
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由此可得
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2+2=4 证毕。
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不能否认，这个推理是纯粹分析的。可是若问任何一个数学家：“这不是真正的证明（demonstration）”，他将会对你说：“这是核验（verification）。”我们仅限于比较两个纯粹约定的定义，并查明它们是恒等的；我们没有学到什么新东西。核验不同于真的证明，正因为它是纯粹分析的，正因为它是毫无结果的。其所以毫无结果，是因为结论不过是翻译成另一种语言的前提。相反地，真的证明是富有成效的，因为这里的结论在某种意义上比前提普遍。
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等式2＋2＝4是如此易受核验，只因为它是特定的。数学中的每一个特定的阐述总是能够以这种相同的方式核验。但是，如果数学能够划归为一系列这样的核验，它就不会是科学了。例如，棋手并没有在赢棋中创立科学。离开普遍性便没有科学。
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人们甚至可以说，精密科学的真正目的就在于使我们省却这些直接的核验。
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Ⅲ
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因此，让我们看看几何学家是如何工作的，并且力图把握他的工作过程。
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这项任务并非没有困难；随便翻开一本书，并分析其中的任何证明，这是不够的。
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我们首先必须撇开几何学，由于与公设的作用、空间概念的本性和起源有关的问题相当困难，因而几何学中的疑问是错综复杂的。出于类似的理由，我们也不能转向微积分。我们必须寻找其中依然是纯粹的数学思想，也就是说，必须在算术中去寻找。
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选择还是必要的；在数论的比较高深的部分，原始数学概念已经经受了如此深刻的提炼，以至于变得难以分析它们。
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因此，正是在算术的开头，我们必须期待找到我们寻求的说明，但是恰恰是在最基本的定理的证明中，发生了这样的情况：经典论文的作者表现得最少精确、最少严格。我们不必把这作为一种罪过归咎于他们；他们服从了必要性；初学者没有受到真正的数学严格性的训练；他们在其中只能看到无用的、使人厌烦的微妙；企图使他们过早地变得更为精密，那不过是白费时间；他们必定会迅速地、但却是按部就班地通过的，而科学奠基人却是缓慢地越过这条道路的。
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为了逐渐地习惯于这种完全的严格性——它似乎应该自然而然地施加在一切健全的心智之上，为什么要有如此长的必要的准备呢？这是一个逻辑的和心理的问题，完全值得加以研究。
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