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[(a＋b)＋γ]＋1＝[a＋(b＋γ)]＋1．
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或者根据定义（1）
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(a＋b)＋(γ＋1)＝a＋(b＋γ＋1)＝a＋[b＋(γ＋1)]，
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这表明，通过一连串的纯粹分析的演绎，该定理对γ＋1为真。
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由于对c＝1为真，从而我们相继看到，它对c＝2，c＝3等也是如此。
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交换性。1°我说
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a＋1＝1＋a．
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该定理显然对a＝1来说为真；我们能够用纯粹分析的推理来核验，若它对a＝γ为真，则它对a＝γ＋1也为真；于是，
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(γ＋1)＋1＝(1＋γ)＋1＝1＋(γ＋1)；
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现在该定理对a＝1为真，因而它对a＝2，a＝3等亦为真，这可用下述说法来表述：所阐述的命题通过递归而证明。
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2°我说
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a＋b＝b＋a．
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该定理刚才针对b＝1已被证明；可以用分析来核验，若它对b＝β为真，则它对b＝β＋1亦为真。
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因此，该命题通过递归而成立。
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乘法的定义。我们将用下述等式来定义乘法：
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像等式（1）一样，等式（2）包含着无穷个定义；只要定义了a×1，就能使我们相继定义a×2，a×3等等。
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乘法的特性——分配性。我说
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(a＋b)×c＝(a×c)+(b×c)．
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我们用分析核验，该等式对c＝1而言为真；其次，若该定理对c＝γ为真，则它对c＝γ＋1亦为真。
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因此，该命题通过递归而证明。
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交换性。1°我说
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a×1＝1×a．
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该定理对a＝1而言是显而易见的。
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我们用分析验证，若该定理对a＝a为真，则它对a＝a＋1亦为真。