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无非是把可通约数分开的这一特殊式样的符号；于是，对于每一种分开的式样，对应着一个可通约数或不可通约数作为它的符号。
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可是，满足这一点也许未免过于轻视这些符号的来源了；依然要说明，我们如何被导致把一种具体的存在赋予它们，此外，甚至对于分数本身来说，一开始不就存在着困难吗？如果我们预先不了解我们认为是无限可分的内容即连续统，我们会有这些数的概念吗？
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物理连续统。我们于是问自己，数学连续统的概念是否只是从经验而来。如果是，那么经验的粗糙材料——这就是我们的感觉——也许容许度量。我们可能被诱使认为，它们实际上就是如此，由于最近有人企图去测量它们，甚至提出了一个通称费希纳（Fechner）定律的规律，按照这个定律，感觉与刺激的对数成正比。
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然而，如果我们较为仔细审查一下曾经试图建立这个定律的实验，我们将会得出绝然相反的结论。例如，人们观察到，10克的重物A和11克的重物B产生相同的感觉，重物B与12克的重物C同样无法区分，但是重物A却很容易与重物C区别开来。于是，经验的粗糙结果可以用下述关系来表示：
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A＝B，B＝C，A＜C，
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可以把这些关系视为物理连续统的公式。
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可是，这里存在着与矛盾律无法容忍的背离，消除这一背离的需要迫使我们发明数学连续统。
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因此，我们不能不得出结论：这一概念完全是由心智创造的，但是经验为它提供了机会。
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我们无法相信，等于第三个量的两个量彼此不相等，以致我们可以假定，尽管A不同于B，B不同于C，但是由于我们的感官不完善，不容许我们区别它们。
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数学连续统的创造。第一阶段。迄今为止，为了说明事实起见，只要在A和B之间插入几项就足够了，这几项依然是离散的。如果我们求助于某些工具以弥补我们感官的软弱无力，例如我们使用显微镜，那么现在会发生什么情况呢？像以前不可区别的A和B项，现在也似乎可以区分了；可是，在现在变得可区分的A和B之间再插入一个新项D，则我们既不能把它与A区别开来，也不能把它与B区别开来。除非使用最完善的方法，我们经验的粗糙结果将总是呈现具有内在矛盾的物理连续统的特征。
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只有在已经区分开来的项中连续不断地插入新项，我们才能摆脱它，而且这一操作必须无限期地进行。如果我们能够想象某种威力充分强大的工具，足以把物理连续统分解为离散的元素，就像望远镜把银河分解为恒星那样，我们就可以设想中止这种操作。但是，我们不能想象这一点；事实上，我们正是用眼睛观察显微镜放大了的图像的，因此这个图像必然总是包含着视觉的特征，从而包含着物理连续统的特征。
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直接观察到的长度和用显微镜放大一倍的这一长度之半无法区分。整体与部分是齐性的；这是一个新的矛盾，或者确切地讲，如果假定项数是有限的才是这样的；事实上，很清楚，包含比整体少的项的部分不可能相似于整体。
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当项数被认为是无限时，矛盾就不存在了；例如，没有什么东西妨碍人们认为整数的集合相似于偶数的集合，虽则偶数只不过是整数的一部分；事实上，每一个整数都对应着一个偶数，即对应着整数的倍数。
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但是，心智被引导创造出用无限数目的项形成的连续统的概念，这并不仅仅是为了避免包含在经验材料中的这种矛盾。
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一切都像在整数序列中发生的一样。我们有能力设想，一个单位能够加到多个单位的集合中；多亏经验，我们才有机会训练这种能力，我们逐渐意识到它；可是，从这时起，我们感到我们的能力没有限度，我们能够无限期地数下去，尽管我们从来还没有数过多于一个有限数目的对象。
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同样地，只要我们被诱使在一个级数的两个相继项之间插入中间项，我们便发觉，这种操作能够超越所有限度而继续下去，也就是说，没有停止的固有理由。
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为简便起见，让我把按照与可通约数的标度相同的规则形成的项的每一个集合称为一阶数学连续统。如果我们进而按照形成不可通约数的规律插入新的步骤，我们将会得到我们所谓的二阶连续统。
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第二阶段。迄今，我们仅仅是迈出了第一步；我们说明了一阶连续统的起源；但是，有必要看到，为什么甚至连它们也不是充分的，为什么必须发明不可通约数。
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如果我们试图想象一条线，那么它必须具有物理连续统的特征，也就是说，除非具有某一宽度，否则我们将无法描绘它。于是，两条线在我们看来似乎形成了两条狭带，如果我们满足于这种粗糙的图像，那么显而易见，若两线相交，则它们将拥有公共部分。
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可是，纯粹几何学家却做出进一步的努力；他完全放弃了感官的帮助，试图达到没有宽度的线的概念、没有广延的点的概念。他只有把线视为不断变窄的带子的极限，把点视为不断缩小的面积的极限，才能够得到这个概念。其次，不管我们的两条相交的带子多么窄，它们总有公共的面积，带子越窄，面积越小，它们的极限将是纯粹几何学家所谓的点。
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这就是人们说两条相交的线具有公共点的原因，这个真理似乎是直觉的。
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然而，如果线被设想为一阶连续统，也就是说，在几何学家所画的线上只能找到具有有理数坐标的点，那它就含有矛盾。例如，只要人们坚持直线和圆的存在，则矛盾是很明显的。
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事实上，很清楚，假如唯有其坐标是可通约数的点才被认为是真实的，那么正方形的内接圆和这个正方形的对角线便不会相交，因为交点的坐标是不可通约的。
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这还不可能是充分的，因为我们以这种方式得到的只是某些不可通约数，而不是全部不可通约数。
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