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可是，设想一下一直线分为两条射线。每条射线在我们的想象中似乎都是某种宽度的带子；而且，这两条带子将相互叠加，由于在它们之间必须没有空隙。这个公共部分在我们看来好像是一点，当我们力图把带子想象得越来越窄时，该点将总是保留着，以至于我们承认，若一直线被切割为两条射线，则它们的公共边界是一个点，这是直觉的真理；在这里我们辨认出戴德金（Dedekind）的概念：不可通约数被视之为两类有理数的公共边界。
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这就是二阶连续统的起源，这恰恰是所谓的数学连续统。
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摘要。简而言之，心智具有创造符号的能力，从而正是心智，构造了只是符号特殊系统的数学连续统。其能力只是受到避免所有矛盾的必要性的限制；但是，只有经验向那里给心智提供刺激物，心智才能利用这种能力。
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在所考虑的情况下，这种刺激物是从感觉的粗糙材料中引出的物理连续统的概念。不过，这个概念导致了一系列的矛盾，必须使我们自己相继从这些矛盾中摆脱出来。照此办理，我们势必想象越来越复杂的符号系统。至今，我们在其中停下来的系统不仅无内部矛盾（在我们经过的所有的阶段已经如此），而且与各种所谓的直觉的命题也无矛盾，这些直觉命题是从或多或少经过提炼的经验概念中推导出来的。
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可测量的量。迄今为止，我们所研究的量都不是可测量的；我们固然能够说这些量中的一个给定量是否比另一个大，但却不能说它是否比另一个大一倍还是大两倍。
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截至目前，我仅仅考虑了我们的项排列的顺序。可是，就大多数应用来说，这并不充分。我们必须学会比较把任何两项分开的区间。只有在这个条件的基础上，连续统才会变为可测量的量，算术运算才是可应用的。
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这只能借助新的、特殊的约定来进行。我们将公认，在这样的情况下，A项和B项之间的区间等于C项和D项之间的区间。例如，在我们的著作的开头，我们曾从整数的标度开始，我们设在两个相继步骤之间插入n个中间步骤；好了，这些新步骤根据约定将被视为是等距离的。
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这是定义两个量的加法的方式，因为若区间AB根据定义等于区间CD，则区间AD根据定义将是区间AB和CD之和。
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这个定义在很大程度上是任意的。然而也不完全如此。它服从某些条件，例如服从加法交换律和结合律。不过，一旦选定的定义满足这些法则，选择就无关紧要了，列举它也就无用了。
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几点评论。现在，我们能够讨论几个重要的问题：
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1°心智的创造力由于数学连续统的创造而枯竭了吗？
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不，杜布瓦-雷蒙（Du Bois-Reymond）以引人注目的方式证明这一点。
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我们知道，数学家区分不同阶的无限小，二阶无限小不仅以绝对的方式是无限小，而且相对于一阶无限小也是无限小。不难设想分数阶的无限小乃至无理数阶的无限小，从而我们再次发现数学连续统的标度，这正是我们在前几页所处理的。
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再者，有些无限小相对于一阶无限小是无限小，相反地，它们相对于1＋ε阶无限小则是无限大，而不管ε可能多么小。于是，这里有插入级数中的新项，如果可以容许我回复到不久前使用过的、虽不怎么通用但却十分方便的措词，那么我将说，这样便创造了一种三阶连续统。
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要再进一步是很容易的，但这却是无用的；人们只能想象没有应用可能的符号，没有一个人想这样做。考虑到不同阶的无限小而导致的三阶连续统本身并没有有用到足以赢得公民身份，几何学家只是把它视为珍奇的玩意儿。心智运用它的创造能力，只有在经验需要它的时候才行。
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2°一旦有了数学连续统的概念，人们能免除类似于产生它的那些矛盾吗？
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不能，我将举一个例子。
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人们必须很博学，才不致认为凡曲线都有切线是明显的；事实上，如果我们把这个曲线和一条直线画为两条窄带，我们总是能够如此安排它们，使它们有公共部分而不相交。其次，如果我们想象这两条带子的宽度无限地缩小，这个共同部分将总是继续存在，可以说到达极限，两线将有共同点而不相交，也就是说，它们将相切。
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以这种方式推理的几何学家只是有意或无意地正在做我们在上面已经做过的事情，即证明两线相交有一公共点，他的直觉好像是合理的。
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可是，直觉也许会欺骗他。我们能够证明，存在着没有切线的曲线，倘若这样的曲线被定义为二阶分析连续统的话。
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毫无疑问，类似于我们上面已经讨论的某些技巧也许足以消除矛盾；但是，因为这只有在十分例外的情况下才会遇到，它没有受到进一步的注意。
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我们不想试图把直觉与解析调和起来，我们甘愿牺牲二者之一，因为解析必定依然是无懈可击的，所以我们决定舍弃直觉。
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多维物理连续统。我们在上面讨论了从我们感官的直接材料引出的物理连续统，或者，如果你乐意的话，也可以说是从费希纳实验的粗糙结果引出的物理连续统；我已经表明，这些结果总括在下述矛盾的公式中：
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A＝B，B＝C，A＜C．
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现在让我们看看，这一概念怎样被概括，如何从它得出多维连续统的概念。
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