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人们必须很博学，才不致认为凡曲线都有切线是明显的；事实上，如果我们把这个曲线和一条直线画为两条窄带，我们总是能够如此安排它们，使它们有公共部分而不相交。其次，如果我们想象这两条带子的宽度无限地缩小，这个共同部分将总是继续存在，可以说到达极限，两线将有共同点而不相交，也就是说，它们将相切。
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以这种方式推理的几何学家只是有意或无意地正在做我们在上面已经做过的事情，即证明两线相交有一公共点，他的直觉好像是合理的。
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可是，直觉也许会欺骗他。我们能够证明，存在着没有切线的曲线，倘若这样的曲线被定义为二阶分析连续统的话。
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毫无疑问，类似于我们上面已经讨论的某些技巧也许足以消除矛盾；但是，因为这只有在十分例外的情况下才会遇到，它没有受到进一步的注意。
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我们不想试图把直觉与解析调和起来，我们甘愿牺牲二者之一，因为解析必定依然是无懈可击的，所以我们决定舍弃直觉。
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多维物理连续统。我们在上面讨论了从我们感官的直接材料引出的物理连续统，或者，如果你乐意的话，也可以说是从费希纳实验的粗糙结果引出的物理连续统；我已经表明，这些结果总括在下述矛盾的公式中：
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A＝B，B＝C，A＜C．
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现在让我们看看，这一概念怎样被概括，如何从它得出多维连续统的概念。
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考虑任何两个感觉的集合。或者我们能够把它们一一辨别开来，或者我们不能辨别，正像在费希纳实验中那样，10克的重物能够与12克的重物区别开来，但不能与11克的重物区别。这就是为构造多维连续统所需要的一切。
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让我们把这些感觉集合中的一个集合称为一个元素。这类似于数学家的点；不过也不是完全相同的东西。我们不能说我们的元素没有广延，由于我们无法把它与邻近的元素加以区别，从而它犹如被一种烟雾包围着。假如可以容许用天文学作比，那么我们的“元素”也许像星云，而数学点则像恒星。
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这已得到承认，如果我们借助于每一个元素都与前一个可以区分的相继元素的系列，能够从它们中的任何一个到达另一个，那么元素的系统将形成一个连续统。这种线性系列就是数学家的线，而孤立的元素则是点。
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在进一步之前，我们必须解释所谓截量意味着什么。考虑一个连续统C，并从中取出它的某些元素，我们暂时将认为这些元素不再属于这个连续统。如此取出的元素的集合将被称之为截量。于是便发生了下述情况：由于这个截量，C可以再分为许多不同的连续统，留下的元素的集合不再形成唯一的连续统。
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于是，在C上将有两个元素A和B，必须认为它们属于两个不同的连续统，而且人们将承认这一点，因为不可能找到C的相继元素的线性系列，这些第一个是A而最后一个是B的元素中的每一个都与前一个不可区分，这个系列中的元素之一不能与截量中的元素之一区分开来。
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相反地，也可能出现这样的情况：所做出的截量不足以再分割连续统C。为了对物理连续统进行分类，我们将严格地审查，为了再分它们必须做出的截量是什么。
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如果一个物理连续统C能够被一个截量再分，而这个截量可以划归为都可以相互区分的有限数目的元素（从而既不形成一个连续统，也不形成几个连续统），那么我们将说C是一维连续统。
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相反地，如果C只能被本身是连续统的截量再分，我们便说C有多维。如果是一维连续统的截量就能够再分，我们便说C有两维；如果是两维连续统的截量就足以再分，我们便说C有三维，如此等等。
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这样一来，由于两个感觉集合是可区分的或不可区分的这一十分简单的事实，便定义了多维物理连续统的概念。
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多维数学连续统。通过完全类似于我们在本章开头所讨论的过程，n维数学连续统的概念由此十分自然地涌现出来。你知道，这种连续统的点在我们看来好像是用称之为其坐标的n个不同的量的系统来定义的。
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这些量并不需要总是可测量的；例如，有一种与测量这些量无关的几何学的分支，在这种几何学中，例如需要了解的问题只是，在曲线ABC上，点B是否在点A和点C之间，而不需要了解弧AB是等于弧BC呢，还是比弧BC大一倍呢。这就是所谓的拓扑学。
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这是一门完整的学说，它吸引了绝大多数几何学家的注意力，我们从中看到，一系列值得注意的定理一个从另一个里涌现出来。这些定理与通常的几何学的定理的不同之处在于，它们纯粹是定性的，即使图形被拙劣的绘图员画得严重歪曲了比例，由于颤抖而把直线画得多少有些弯曲，这些定理依然为真。
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由于我们希望接着把测量引入刚刚定义的连续统，于是这个连续统变为空间，几何学诞生了。但对此的讨论留在第二编。
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〔1〕以及包括在特殊约定中的推理，这些约定适合于定义加法，我将在后面谈到它们。
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科学与假设 第二编 空间
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