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例如，三角形的角之和是：
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在欧几里得几何学中等于两直角；
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在罗巴契夫斯基几何学中小于两直角；
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在黎曼几何学中大于两直角。
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通过一给定点能够引与已知直线共面但无论在什么地方也不与之相交的直线数是：
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在欧几里得几何学中等于1；
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在黎曼几何学中等于0；
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在罗巴契夫斯基几何学中等于无限。
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而且，黎曼空间虽则是无界的，但却是有限的，这是在上面给予这两个词的意义上而言的。
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常曲率面。一种反对意见依然是可能的。罗巴契夫斯基和黎曼的定理没有表现出矛盾；可是，这两位几何学家无论从他们的假设中引出多么多的推论，他们也必须在穷尽这些推论之前停下来，不然其数目将是无限的了；而且，谁能够说，如果他们把演绎推得更远一些，他们最终不会达到某些矛盾吗？
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对于黎曼几何学而言，只要把它限制在两维，就没有这种困难；事实上，正如我们看到的，两维黎曼几何学与球面几何毫无差别，它只是普通几何学的一个分支，因而毋庸讨论。
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同样，贝尔特拉米把罗巴契夫斯基的两维几何学看做是普通几何学的一个分支，他也驳斥了有关的反对意见。
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在这里，且看他是如何完成它的。考虑曲面上的任何图形。设想这个图形以下述方式画在一个易弯曲而不可扩展的、紧贴在这个曲面的画布上：当这个画布移动和变形时，这个图形的各种线条能改变它们的形状而不改变它们的长度。一般说来，这个易弯曲而不可扩展的图形在不离开该曲面的情况下是不能移动的；但是，也有某些特殊的曲面可以这样移动；这就是常曲率面。
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如果我们重新开始上面所作的比较，并设想没有厚度的生物生活在这些曲面之一上，那么它们将认为其所有线条在长度上依然保持不变的图形的运动是可能的。相反地，对于生活在可变曲率面上的无厚度的动物来说，这样一种移动似乎是荒谬的。
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这些常曲率面分为两类：一些是正曲率的，它们能够变形而紧贴在球面上。因此，这些曲面的几何学本身划归为球面几何，这就是黎曼几何学。
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其余是负曲率的。贝尔特拉米证明，这些曲面几何学无非是罗巴契夫斯基几何学。这样一来，黎曼和罗巴契夫斯基的二维几何学便与欧几里得几何学相关。
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非欧几何学的诠释。就这样，便消除了迄今关涉二维几何学的反对意见。
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可以很容易地把贝尔特拉米的推理推广到三维几何学。不排斥四维空间的心智将不会从中看到困难，但这种心智寥寥无几。因此，我宁可在其他方面继续讲下去。
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考虑某一平面，我将称其为基本平面，并编制一种词典，使写在两列中的两组术语一一对应，就像在普遍词典中其意义相同的两种语言的词相对应一样：
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空间：位于基本平面以上的空间部分。
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平面：与基本平面正交的球面。
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直线：与基本平面正交的圆。
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球面：球面。
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圆：圆。
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角：角。
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