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两点之间的距离：这两点以及基本平面与通过这两点的、并与之正交的圆的交点之交比的对数。如此等等。
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现在，以罗巴契夫斯基定理为例，并借助这本词典翻译它们，正如我们用德英词典翻译德文文本一样。这样，我们将得到普通几何学的定理。例如，有一罗巴契夫斯基定理：“三角形的角之和小于两直角”，它可以这样翻译为：“如果一曲线三角形的边延长后是与基本平面正交的圆弧线，则这个曲线三角形的角之和将小于两直角。”于是，不管把罗巴契夫斯基假设的推论推得多么远，它们将永远也不会导致矛盾。事实上，假如两个罗巴契夫斯基定理是矛盾的，那么它势必与借助于我们的词典所翻译的这两个定理的译文相同，但是这些译文是普通几何学的定理，而没有人对普通几何学无矛盾表示怀疑。这种确定性从何而来呢，它被证明是正当的吗？这是一个我无法在这里处理的问题，因为说起来话就长了，但是，它是十分有趣的，我不认为不可解决。
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因此在这里不存在我在上面所阐述的反对意见。这并非一切。罗巴契夫斯基几何学可容许被具体地加以诠释，而并不是空洞的逻辑练习，它还可以应用；在这里，我无暇谈论这些应用，也无暇谈及克莱因（Klein）和我为积分线性微分方程从它们得到的帮助。
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而且，这种诠释并不是唯一的，人们可以编制许多类似于前述词典的词典，它们都能使我们通过简单的“翻译”，把罗巴契夫斯基定理变换为普通几何学定理。
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隐公理。在我们的专著中明确阐述的公理是几何学的唯一基础吗？由于注意到，在它们被相继抛弃后，还留下某些与欧几里得、罗巴契夫斯基和黎曼的理论共同的命题，所以我们确信它们并不是几何学的唯一基础。这些命题必须建立在几何学家没有阐述但却公认的前提上。试图把它们与经典证明分清，这是有趣的事。
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斯图尔特·穆勒（Stuart Mill）宣称，每一个定义都包含着公理，因为在定义时，人们隐含地断言被定义的客体的存在。这未免走得太远了；在数学中，在下定义之后，免不了接着要证明被定义的对象的存在，人们之所以一般省去证明，是因为读者能够很容易地补充它。绝对不要忘记，当涉及数学实体时，当谈论物质的对象问题时，存在这个词与之并非同义。一个数学实体存在，只要它的定义既在自身之内不隐含矛盾、或与已经公认的命题不发生矛盾就可以了。
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不过，即使斯图尔特·穆勒的观察不能用于所有定义，但对于它们中的一些依然是正确的。平面有时被如下定义：
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平面是这样一种面，即连接该面任何两点的直线全部在这个面上。
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这个定义明显地隐藏着一个新公理；的确，我们必须改变它，这也许更为可取，不过我们为此应该明确地阐述公理。
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其他定义也能引起并非不重要的思考。
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例如，二图形相等的问题；两图形相等，只有它们能够叠合才行，要使它们叠合，则必须移动一个，直至它与另一个重合；可是，将如何移动它呢？如果我们问这个问题，那么我们无疑会被告知，必须在不改变其形状的情况下移动它，就像它是刚体一样。因此，显然会出现循环论证。
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事实上，这个定义并没有定义什么；对于生活在只有流体的世界的生物来说，它是毫无意义的。假如它在我们看来似乎是清楚的，那是因为我们利用了天然固体的性质，天然固体与所有维度都不可改变的理想固体并没有很大的差别。
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尽管这个定义可能是不完善的，但它也隐含着公理。
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刚性图形运动的可能性并不是自明的真，或者至少仅就欧几里得公设的样式来看是如此，它不像先验分析判断那样。
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再者，在研究几何学的定义和证明时，我们看到，人们被迫在毫无证据的情况下不仅承认这种运动的可能性，此外还要承认它的某些性质。
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可以立即从直线的定义中看到这一点。人们给出了许多有缺陷的定义，但是真正的定义却隐含在直线所参与的一切证明中：
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“刚性图形的运动可以这样发生：属于这个图形的线的各点依然不动，而处于这条线外的各点则运动。这样的线被称之为直线。”在这个阐述中，我们故意把定义和它所隐含的公理隔离开来。
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许多证明，例如三角形全等例子的证明，从一点向一直线引垂线的证明，都预先假定了未阐述的命题，因为它们需要承认，在空间以某种方式移动图形是可能的。
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第四种几何学。在这些隐公理中，有一个公理在我看来似乎是值得注意一下的，因为抛弃了它，便能够构造出像欧几里得、罗巴契夫斯基和黎曼的几何学一样融贯的第四种几何学。
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为了证明在一点A总可以向直线AB引垂线，我们考虑一直线AC，它可以绕A点移动且开始时与固定的直线AB重合；我们使它绕点A转动，直到它转到AB的延长线上。
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这样一来，便预先假定了两个命题：首先，这样的转动是可能的，其次，转动可以继续下去，直到两条直线互为延长线时为止。
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如果承认第一点而否认第二点，我们便有可能得到一系列定理，这些定理甚至比罗巴契夫斯基和黎曼的定理更奇异，但同样没有矛盾。
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我只想引用这些定理中的一个，它并不是最奇特的：实直线可以垂直于它本身。
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李定理。在典型的证明中，隐含地引入的公理数比所需要的要多，把它简化到最少也许是引人入胜的。希尔伯特（Hilbert）仿佛已对这个问题做出了最后的解答。首先，人们大概会先验地询问，这种简化是否可能，必要的公理数和可以想象的几何学数是否不是无限的。
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索弗斯·李（Sophus Lie）定理支配着这一整个讨论。它可以这样阐述：
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