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这个定义明显地隐藏着一个新公理;的确,我们必须改变它,这也许更为可取,不过我们为此应该明确地阐述公理。
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其他定义也能引起并非不重要的思考。
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例如,二图形相等的问题;两图形相等,只有它们能够叠合才行,要使它们叠合,则必须移动一个,直至它与另一个重合;可是,将如何移动它呢?如果我们问这个问题,那么我们无疑会被告知,必须在不改变其形状的情况下移动它,就像它是刚体一样。因此,显然会出现循环论证。
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事实上,这个定义并没有定义什么;对于生活在只有流体的世界的生物来说,它是毫无意义的。假如它在我们看来似乎是清楚的,那是因为我们利用了天然固体的性质,天然固体与所有维度都不可改变的理想固体并没有很大的差别。
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尽管这个定义可能是不完善的,但它也隐含着公理。
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刚性图形运动的可能性并不是自明的真,或者至少仅就欧几里得公设的样式来看是如此,它不像先验分析判断那样。
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再者,在研究几何学的定义和证明时,我们看到,人们被迫在毫无证据的情况下不仅承认这种运动的可能性,此外还要承认它的某些性质。
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可以立即从直线的定义中看到这一点。人们给出了许多有缺陷的定义,但是真正的定义却隐含在直线所参与的一切证明中:
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“刚性图形的运动可以这样发生:属于这个图形的线的各点依然不动,而处于这条线外的各点则运动。这样的线被称之为直线。”在这个阐述中,我们故意把定义和它所隐含的公理隔离开来。
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许多证明,例如三角形全等例子的证明,从一点向一直线引垂线的证明,都预先假定了未阐述的命题,因为它们需要承认,在空间以某种方式移动图形是可能的。
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第四种几何学。在这些隐公理中,有一个公理在我看来似乎是值得注意一下的,因为抛弃了它,便能够构造出像欧几里得、罗巴契夫斯基和黎曼的几何学一样融贯的第四种几何学。
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为了证明在一点A总可以向直线AB引垂线,我们考虑一直线AC,它可以绕A点移动且开始时与固定的直线AB重合;我们使它绕点A转动,直到它转到AB的延长线上。
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这样一来,便预先假定了两个命题:首先,这样的转动是可能的,其次,转动可以继续下去,直到两条直线互为延长线时为止。
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如果承认第一点而否认第二点,我们便有可能得到一系列定理,这些定理甚至比罗巴契夫斯基和黎曼的定理更奇异,但同样没有矛盾。
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我只想引用这些定理中的一个,它并不是最奇特的:实直线可以垂直于它本身。
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李定理。在典型的证明中,隐含地引入的公理数比所需要的要多,把它简化到最少也许是引人入胜的。希尔伯特(Hilbert)仿佛已对这个问题做出了最后的解答。首先,人们大概会先验地询问,这种简化是否可能,必要的公理数和可以想象的几何学数是否不是无限的。
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索弗斯·李(Sophus Lie)定理支配着这一整个讨论。它可以这样阐述:
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假定下述前提得到公认:
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1°空间有n维;
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2°刚性图形的运动是可能的;
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3°要决定这个图形在空间的位置需要p个条件。
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适合于这些前提的几何学数将是有限的。
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甚至还可以附加说,如果n是已知的,能够指定最高极限为P。
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因此,如果承认运动的可能性,那么只能发明有限(甚至是相当少的)数目的三维几何学。
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黎曼几何学。可是,这个结果似乎受到黎曼的反驳,因为这位学者构造了无数不同的几何学,通常以他名字命名的几何学只是一个特例。
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