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而且，黎曼空间虽则是无界的，但却是有限的，这是在上面给予这两个词的意义上而言的。
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常曲率面。一种反对意见依然是可能的。罗巴契夫斯基和黎曼的定理没有表现出矛盾；可是，这两位几何学家无论从他们的假设中引出多么多的推论，他们也必须在穷尽这些推论之前停下来，不然其数目将是无限的了；而且，谁能够说，如果他们把演绎推得更远一些，他们最终不会达到某些矛盾吗？
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对于黎曼几何学而言，只要把它限制在两维，就没有这种困难；事实上，正如我们看到的，两维黎曼几何学与球面几何毫无差别，它只是普通几何学的一个分支，因而毋庸讨论。
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同样，贝尔特拉米把罗巴契夫斯基的两维几何学看做是普通几何学的一个分支，他也驳斥了有关的反对意见。
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在这里，且看他是如何完成它的。考虑曲面上的任何图形。设想这个图形以下述方式画在一个易弯曲而不可扩展的、紧贴在这个曲面的画布上：当这个画布移动和变形时，这个图形的各种线条能改变它们的形状而不改变它们的长度。一般说来，这个易弯曲而不可扩展的图形在不离开该曲面的情况下是不能移动的；但是，也有某些特殊的曲面可以这样移动；这就是常曲率面。
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如果我们重新开始上面所作的比较，并设想没有厚度的生物生活在这些曲面之一上，那么它们将认为其所有线条在长度上依然保持不变的图形的运动是可能的。相反地，对于生活在可变曲率面上的无厚度的动物来说，这样一种移动似乎是荒谬的。
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这些常曲率面分为两类：一些是正曲率的，它们能够变形而紧贴在球面上。因此，这些曲面的几何学本身划归为球面几何，这就是黎曼几何学。
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其余是负曲率的。贝尔特拉米证明，这些曲面几何学无非是罗巴契夫斯基几何学。这样一来，黎曼和罗巴契夫斯基的二维几何学便与欧几里得几何学相关。
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非欧几何学的诠释。就这样，便消除了迄今关涉二维几何学的反对意见。
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可以很容易地把贝尔特拉米的推理推广到三维几何学。不排斥四维空间的心智将不会从中看到困难，但这种心智寥寥无几。因此，我宁可在其他方面继续讲下去。
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考虑某一平面，我将称其为基本平面，并编制一种词典，使写在两列中的两组术语一一对应，就像在普遍词典中其意义相同的两种语言的词相对应一样：
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空间：位于基本平面以上的空间部分。
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平面：与基本平面正交的球面。
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直线：与基本平面正交的圆。
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球面：球面。
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圆：圆。
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角：角。
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两点之间的距离：这两点以及基本平面与通过这两点的、并与之正交的圆的交点之交比的对数。如此等等。
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现在，以罗巴契夫斯基定理为例，并借助这本词典翻译它们，正如我们用德英词典翻译德文文本一样。这样，我们将得到普通几何学的定理。例如，有一罗巴契夫斯基定理：“三角形的角之和小于两直角”，它可以这样翻译为：“如果一曲线三角形的边延长后是与基本平面正交的圆弧线，则这个曲线三角形的角之和将小于两直角。”于是，不管把罗巴契夫斯基假设的推论推得多么远，它们将永远也不会导致矛盾。事实上，假如两个罗巴契夫斯基定理是矛盾的，那么它势必与借助于我们的词典所翻译的这两个定理的译文相同，但是这些译文是普通几何学的定理，而没有人对普通几何学无矛盾表示怀疑。这种确定性从何而来呢，它被证明是正当的吗？这是一个我无法在这里处理的问题，因为说起来话就长了，但是，它是十分有趣的，我不认为不可解决。
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因此在这里不存在我在上面所阐述的反对意见。这并非一切。罗巴契夫斯基几何学可容许被具体地加以诠释，而并不是空洞的逻辑练习，它还可以应用；在这里，我无暇谈论这些应用，也无暇谈及克莱因（Klein）和我为积分线性微分方程从它们得到的帮助。
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而且，这种诠释并不是唯一的，人们可以编制许多类似于前述词典的词典，它们都能使我们通过简单的“翻译”，把罗巴契夫斯基定理变换为普通几何学定理。
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隐公理。在我们的专著中明确阐述的公理是几何学的唯一基础吗？由于注意到，在它们被相继抛弃后，还留下某些与欧几里得、罗巴契夫斯基和黎曼的理论共同的命题，所以我们确信它们并不是几何学的唯一基础。这些命题必须建立在几何学家没有阐述但却公认的前提上。试图把它们与经典证明分清，这是有趣的事。
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斯图尔特·穆勒（Stuart Mill）宣称，每一个定义都包含着公理，因为在定义时，人们隐含地断言被定义的客体的存在。这未免走得太远了；在数学中，在下定义之后，免不了接着要证明被定义的对象的存在，人们之所以一般省去证明，是因为读者能够很容易地补充它。绝对不要忘记，当涉及数学实体时，当谈论物质的对象问题时，存在这个词与之并非同义。一个数学实体存在，只要它的定义既在自身之内不隐含矛盾、或与已经公认的命题不发生矛盾就可以了。
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不过，即使斯图尔特·穆勒的观察不能用于所有定义，但对于它们中的一些依然是正确的。平面有时被如下定义：
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平面是这样一种面，即连接该面任何两点的直线全部在这个面上。
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