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假定下述前提得到公认：
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1°空间有n维；
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2°刚性图形的运动是可能的；
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3°要决定这个图形在空间的位置需要p个条件。
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适合于这些前提的几何学数将是有限的。
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甚至还可以附加说，如果n是已知的，能够指定最高极限为P。
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因此，如果承认运动的可能性，那么只能发明有限（甚至是相当少的）数目的三维几何学。
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黎曼几何学。可是，这个结果似乎受到黎曼的反驳，因为这位学者构造了无数不同的几何学，通常以他名字命名的几何学只是一个特例。
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他说，一切均取决于如何定义曲线的长度。现在，有无数定义这一长度的方法，它们中的每一个都可以成为新几何学的起点。
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这是完全为真，不过这些定义中的大多数都与刚性图形的运动格格不入，而在李定理中，则假定这种运动是可能的。因此，这些黎曼几何学尽管在许多方面如此有趣，但它们永远不过是纯粹分析的，是不适合于类似于欧几里得那样的证明的。
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希尔伯特几何学。最后韦罗纳塞（Veronese）先生和希尔伯特先生曾构想出更新奇的几何学，他们称其为“非阿基米德（Archimedes）几何学”。他们舍弃阿基米德公理，而建立新的几何学，根据这条公理，凡以足够大的整数乘以给定的长度，最终必然超过原先给定的任何大的长度。在一条非阿基米德直线上遍布着普通几何学的点，但尚有无穷的点夹在其中，这样一来，旧派几何学家认为相邻接的两截段之间，现在就可以插入无穷多的新点。一句话，按前一章的说法，非阿基米德空间不再是二维连续统，而是三维连续统。
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关于公理的本性。大多数数学家仅仅把罗巴契夫斯基几何学视为纯粹的逻辑珍品；可是，他们之中的有些人走得更远。由于许多几何学是可能的，我们的几何学肯定是真的吗？经验无疑教导我们，三角形的角之和等于两直角；但是，这是因为我们所涉及的三角形太小了；按照罗巴契夫斯基的观点，差别正比于三角形的面积；当我们计算较大的三角形时，或者当我们的测量变得更精确时，这种差别不能被感觉到吗？因此，欧几里得几何学只不过是暂定的几何学。
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为了讨论这种意见，我们首先应该问我们自己，几何学公理的本性是什么？
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它们是像康德（Kant）所说的先验综合判断吗？
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于是，它们以如此强大的力量强加于我们，以致我们既不能设想相反的命题，也不能在其上建设理论大厦。那里不会有非欧几何学。
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为了确信这一点，让我们举一个名副其实的先验综合判断，例如下述我们在第一章中已经看到它的举足轻重的作用的例子：
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如果一定理对数1为真，如果业已证明，倘若它对n为真，则它对n＋1亦为真，那么它将对所有的正整数都为真。
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可是，企图否认这一命题而摆脱它，企图建立一种类似于非欧几何学的伪算术——那是不能做到的；乍一看，人们甚至会被诱使认为这些判断是分析的。
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再者，重新谈谈我们虚构的无厚度的动物吧，我们简直不能承认，假如它们的心智像我们的一样，它们会采纳与它们的一切经验相矛盾的欧几里得几何学。
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我们能够因此得出几何学公理是经验的真理的结论吗？可是，我们没有做关于理想直线或圆的实验；人们只能针对物质的客体做实验。这样一来，应该作为几何学基础的实验能够建立在什么之上呢？答案是容易的。
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我们在上面已经看到，我们在不断推理时，几何图形好像固体一样起作用。因此，几何学能够从经验中借用的东西也许是这些固体的性质。光的性质及其直线传播也导致了几何学的某些性质，尤其是射影几何学的性质，以至于从这种观点看来，人们会被诱使说，度量几何学是固体的研究，而射影几何学则是光的研究。
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但是，困难依然存在，而且它是难以克服的。假如几何学是实验科学，它就不会是精密科学，它就应该是继续修正的学科。不仅如此，从此以后每天都会证明它有错误，因为我们知道，没有严格的刚体。
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因此，几何学的公理既非先验综合判断，亦非实验事实。
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它们是约定；我们在所有可能的约定中进行选择，要受实验事实的指导；但选择依然是自由的，只是受到避免一切矛盾的必要性的限制。因此，尽管决定公设取舍的实验定律仅仅是近似的，但公设能够依然严格为真。
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换句话说，几何学的公理（我不谈算术的公理）只不过是隐蔽的定义。
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