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如果一定理对数1为真，如果业已证明，倘若它对n为真，则它对n＋1亦为真，那么它将对所有的正整数都为真。
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可是，企图否认这一命题而摆脱它，企图建立一种类似于非欧几何学的伪算术——那是不能做到的；乍一看，人们甚至会被诱使认为这些判断是分析的。
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再者，重新谈谈我们虚构的无厚度的动物吧，我们简直不能承认，假如它们的心智像我们的一样，它们会采纳与它们的一切经验相矛盾的欧几里得几何学。
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我们能够因此得出几何学公理是经验的真理的结论吗？可是，我们没有做关于理想直线或圆的实验；人们只能针对物质的客体做实验。这样一来，应该作为几何学基础的实验能够建立在什么之上呢？答案是容易的。
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我们在上面已经看到，我们在不断推理时，几何图形好像固体一样起作用。因此，几何学能够从经验中借用的东西也许是这些固体的性质。光的性质及其直线传播也导致了几何学的某些性质，尤其是射影几何学的性质，以至于从这种观点看来，人们会被诱使说，度量几何学是固体的研究，而射影几何学则是光的研究。
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但是，困难依然存在，而且它是难以克服的。假如几何学是实验科学，它就不会是精密科学，它就应该是继续修正的学科。不仅如此，从此以后每天都会证明它有错误，因为我们知道，没有严格的刚体。
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因此，几何学的公理既非先验综合判断，亦非实验事实。
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它们是约定；我们在所有可能的约定中进行选择，要受实验事实的指导；但选择依然是自由的，只是受到避免一切矛盾的必要性的限制。因此，尽管决定公设取舍的实验定律仅仅是近似的，但公设能够依然严格为真。
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换句话说，几何学的公理（我不谈算术的公理）只不过是隐蔽的定义。
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于是，我们想到这样一个问题：欧几里得几何学为真吗？
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这个问题毫无意义。
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这好比问米制是否为真，旧制是否为假；笛卡儿坐标是否为真，极坐标是否为假。一种几何学不会比另一种几何学更真；它只能是更为方便而已。
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欧几里得几何学现在是、将来依然是最方便的：
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1°因为它是最简单的；它之所以如此，不仅仅由于我们的心理习惯，或者由于我不知道我们对于欧几里得空间具有什么直接的直觉；它本身是最简单的，恰如一次多项式比二次多项式简单；而球面三角的公式比平面三角的公式复杂，对于不了解这些公式的几何意义的分析家来说，情况似乎依然如此。
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2°因为它充分地与天然固体的性质符合，这些固体是我们的手和我们的眼睛所能比较的，我们用它们制造我们的测量工具。
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科学与假设 第四章 空间和几何学
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让我们由一个小悖论开始。
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假如存在着一种生物，具有像我们一样的心智，并且具有像我们一样的感官，但先前没有受过教育，它们能够从适当选择的外部世界中得到这样一些印象，致使它们可以构造不同于欧几里得的几何学，并能把外部世界的现象限制在非欧空间，甚或限制在四维空间。
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至于我们，我们所受的教育是在我们的现实世界完成的，假使我们突然被运送到这个新世界上，我们会毫无困难地把该世界上的各种现象归诸于我们的欧几里得空间。反之，假使这些生物被运送到我们的环境中，它们可能会把我们的现象与非欧几里得空间联系起来。
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情况不仅仅如此；我们只用很少气力同样能做到这一点。一个毕生专注于此的人，也许能够认清四维空间。
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几何学空间与知觉空间。人们常说，外部客体的映像被局限在空间中，甚至还说，若无这一条件便不能形成映像。人们也说，这种空间因而是为我们的感觉和我们的表象准备好了的框架，它等价于几何学家的空间，它具有几何学家的空间的一切性质。
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对于如此思考的所有健全的心智来说，前面的陈述必定是十分离奇的。不过，让我们看看，他们是否不受幻觉的影响，而幻觉经过比较深刻的分析是可以消除的。
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首先，严格意义上所说的空间的性质是什么？我所指的空间是几何学的对象，我将称其为几何学空间。
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