1701105900
“刚性图形的运动可以这样发生：属于这个图形的线的各点依然不动，而处于这条线外的各点则运动。这样的线被称之为直线。”在这个阐述中，我们故意把定义和它所隐含的公理隔离开来。
1701105901
1701105902
许多证明，例如三角形全等例子的证明，从一点向一直线引垂线的证明，都预先假定了未阐述的命题，因为它们需要承认，在空间以某种方式移动图形是可能的。
1701105903
1701105904
第四种几何学。在这些隐公理中，有一个公理在我看来似乎是值得注意一下的，因为抛弃了它，便能够构造出像欧几里得、罗巴契夫斯基和黎曼的几何学一样融贯的第四种几何学。
1701105905
1701105906
为了证明在一点A总可以向直线AB引垂线，我们考虑一直线AC，它可以绕A点移动且开始时与固定的直线AB重合；我们使它绕点A转动，直到它转到AB的延长线上。
1701105907
1701105908
这样一来，便预先假定了两个命题：首先，这样的转动是可能的，其次，转动可以继续下去，直到两条直线互为延长线时为止。
1701105909
1701105910
如果承认第一点而否认第二点，我们便有可能得到一系列定理，这些定理甚至比罗巴契夫斯基和黎曼的定理更奇异，但同样没有矛盾。
1701105911
1701105912
我只想引用这些定理中的一个，它并不是最奇特的：实直线可以垂直于它本身。
1701105913
1701105914
李定理。在典型的证明中，隐含地引入的公理数比所需要的要多，把它简化到最少也许是引人入胜的。希尔伯特（Hilbert）仿佛已对这个问题做出了最后的解答。首先，人们大概会先验地询问，这种简化是否可能，必要的公理数和可以想象的几何学数是否不是无限的。
1701105915
1701105916
索弗斯·李（Sophus Lie）定理支配着这一整个讨论。它可以这样阐述：
1701105917
1701105918
假定下述前提得到公认：
1701105919
1701105920
1°空间有n维；
1701105921
1701105922
2°刚性图形的运动是可能的；
1701105923
1701105924
3°要决定这个图形在空间的位置需要p个条件。
1701105925
1701105926
适合于这些前提的几何学数将是有限的。
1701105927
1701105928
甚至还可以附加说，如果n是已知的，能够指定最高极限为P。
1701105929
1701105930
因此，如果承认运动的可能性，那么只能发明有限（甚至是相当少的）数目的三维几何学。
1701105931
1701105932
黎曼几何学。可是，这个结果似乎受到黎曼的反驳，因为这位学者构造了无数不同的几何学，通常以他名字命名的几何学只是一个特例。
1701105933
1701105934
他说，一切均取决于如何定义曲线的长度。现在，有无数定义这一长度的方法，它们中的每一个都可以成为新几何学的起点。
1701105935
1701105936
这是完全为真，不过这些定义中的大多数都与刚性图形的运动格格不入，而在李定理中，则假定这种运动是可能的。因此，这些黎曼几何学尽管在许多方面如此有趣，但它们永远不过是纯粹分析的，是不适合于类似于欧几里得那样的证明的。
1701105937
1701105938
希尔伯特几何学。最后韦罗纳塞（Veronese）先生和希尔伯特先生曾构想出更新奇的几何学，他们称其为“非阿基米德（Archimedes）几何学”。他们舍弃阿基米德公理，而建立新的几何学，根据这条公理，凡以足够大的整数乘以给定的长度，最终必然超过原先给定的任何大的长度。在一条非阿基米德直线上遍布着普通几何学的点，但尚有无穷的点夹在其中，这样一来，旧派几何学家认为相邻接的两截段之间，现在就可以插入无穷多的新点。一句话，按前一章的说法，非阿基米德空间不再是二维连续统，而是三维连续统。
1701105939
1701105940
关于公理的本性。大多数数学家仅仅把罗巴契夫斯基几何学视为纯粹的逻辑珍品；可是，他们之中的有些人走得更远。由于许多几何学是可能的，我们的几何学肯定是真的吗？经验无疑教导我们，三角形的角之和等于两直角；但是，这是因为我们所涉及的三角形太小了；按照罗巴契夫斯基的观点，差别正比于三角形的面积；当我们计算较大的三角形时，或者当我们的测量变得更精确时，这种差别不能被感觉到吗？因此，欧几里得几何学只不过是暂定的几何学。
1701105941
1701105942
为了讨论这种意见，我们首先应该问我们自己，几何学公理的本性是什么？
1701105943
1701105944
它们是像康德（Kant）所说的先验综合判断吗？
1701105945
1701105946
于是，它们以如此强大的力量强加于我们，以致我们既不能设想相反的命题，也不能在其上建设理论大厦。那里不会有非欧几何学。
1701105947
1701105948
为了确信这一点，让我们举一个名副其实的先验综合判断，例如下述我们在第一章中已经看到它的举足轻重的作用的例子：
1701105949
[
上一页 ]
[ :1.7011059e+09 ]
[
下一页 ]