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2°我们注意到，这些范畴每一个的某些变化可以受到另一范畴相关变化的矫正。
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3°在外部变化中，我们区分出与另一范畴相关的变化；我们称这些变化为位移；同样，在内部变化中，我们区分出与第一个范畴相关的变化。
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由于这种相关性，我们称之为位移的现象的特殊类别就被这样定义了。
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这些现象的规律构成几何学的对象。
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均匀性定律。在这些规律中，第一个就是均匀性定律。
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设由于外部变化α，我们从印象总和A到印象总和B，接着这一变化α受到相关的、由主观意志控制的动作β的矫正，于是我们恢复到总和A。
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现在，设另一个外部变化α’使我们重新从总和A到总和B。
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经验告诉我们，这个变化α’像α一样，也易受相关的、由主观意志控制的动作β’的矫正，这个动作β’与矫正α的动作β相应于同样的肌肉感觉。
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这个事实通常被说成是：空间是均匀的和各向同性的。
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也可以说，一个动作一旦产生之后，它可以第二次、第三次地重复，如此等等，而它的特性却保持不变。
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在第一章，我们讨论了数学推理的本性，我们看到必须赋予无限地重复同一操作的可能性以重要意义。
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数学推理正是从这种重复中获得它的威力的；因此，正是由于均匀性定律，它才把支撑点放在几何学事实上。
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为完备起见，除均匀性定律外，还应当添加许多其他类似的定律，我不愿讨论其中的细节，但是数学家用一句话把它们概括为下述说法：位移形成“一个群”。
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非欧几里得世界。如果几何学空间是强加在我们每一个单独考虑的表象上的框架，那么就不可能拆除这个框架来想象映像，而且我们也丝毫不能改变我们的几何学。
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然而，情况并非如此；几何学只不过是这些映像前后相继的规律的概要。于是，没有什么东西妨碍我们想象一系列表象，这些表象在各方面与我们通常的表象类似，但前后相继的规律不同于我们习惯的规律。
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其次，我们能够设想在这些定律遭到倾覆的环境中接受教育的生物，它们必定具有与我们截然不同的几何学。
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例如，假定有一个用大球面包围起来的世界，它服从下述定律：
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温度不是均匀的；在中心温度最高，随着距中心距离的增大，温度成比例地减小，当接近包围这个世界的球面时，温度降至绝对零度。
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让我再把这个温度变化的规律更精确地说明一下：设R是有限球面的半径；设r是所考虑的点到这个球面中心的距离。绝对温度将与R2－r2成比例。
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我将进而假定，在这个世界上，一切物体都具有同一膨胀系数，从而任何量尺的长度都与它的绝对温度成比例。
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最后，我将假定，一物体从一点转移到温度不同的另一点后，它能立即与新环境处于热平衡。
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在这些假设中，丝毫没有什么是矛盾的或不可想象的。
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于是，一个可动客体越接近有限球面，它会成比例地愈变愈小。
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首先要注意，从我们通常的几何学的观点来看，尽管这个世界是有限的，但是对于这个世界的居民来说，它似乎是无限的。
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事实上，当这些居民试图接近有限球面时，它们逐渐变冷，而且变得愈来愈小。因此，它们迈出的步子也愈来愈小，结果它们永远也不能到达有限球面。
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