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对于我们来说，如果几何学只是研究刚体运动的规律的话，那么对这些假想的生物而言，几何学将研究我刚刚说过的因温度差而变形的固体的运动规律。
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毫无疑问，在我们的世界上，由于或热或冷，天然固体同样经受形状和体积的变化。但是，在奠定几何学的基础时，我们忽略了这些变化，因为除了这些变化微乎其微外，它们也不规则，从而在我们看来似乎是偶然的。
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在我们假设的世界上，情况不再是这样，这些变化遵循规则的、十分简单的定律。
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而且，组成这个世界的居民的身体之各固体部分会经受同样的形状变化和体积变化。
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我还要作另外的假设；我将假定，光通过各种折射媒质传播，而且折射率与R2－r2成反比。很容易看到，在这些条件下，光线不可能是直线的，而是圆形的。
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为了证明前面所说的是正当的，在我看来依然是要表明，外部客体位置的某些变化能够被居住在这个想象世界上的有知觉生物的相关动作矫正，用这种方式来恢复这些有知觉生物体验过的原始印象的集合。
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事实上，假定一客体被移动，同样经受了形变，它不像刚体，而像与上面假定的温度定律严格一致的固体那样经受了不相等的膨胀。为简洁起见，请容许我把这样的运动叫做非欧几里得位移。
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假如一个有知觉的生物恰恰在附近，它的印象将被该客体的位移所改变，但是它能够通过以合适的方式运动而重建这些印象。只要最后该对象和被视为单一个体的有知觉的生物之集合经受了一种特殊位移就足够了，我刚才把这种位移叫做非欧几里得位移。倘若假定这些生物的四肢与它们居住的世界的其他物体按照同一规律膨胀，那么这就是可能的。
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从我们通常的几何学的观点来看，尽管物体在这种位移中发生了形变，而且它们的各部分不再处于同一相对位置，不过我们将看到，有知觉的生物的印象再次变成相同的了。
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事实上，虽然各部分的相互距离可以改变，但是原来接触的部分又处于接触。因此，触觉印象没有变化。
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另一方面，考虑到上面关于光线的折射和曲率所作的假设，则视觉印象也依然相同。
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因此，这些假想的生物像我们一样，可以把它们目睹的现象进行分类，也可以在这些现象中区分出易于通过相关的、由主观意志支配的动作而矫正“位置变化”。
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假使它们构造几何学，将不会像我们那样研究刚体的运动；它们的几何学将研究它们将如此区分的位置变化，这种变化无非是“非欧几里得位移”；它们的几何学将是非欧几何学。
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这样一来，像我们自己一样的生物，由于在这样一个世界受教育，它们不会有与我们相同的几何学。
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四维世界。正如我们能够想象非欧几里得世界一样，我们也能够想象四维世界。
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视觉——即使用一只眼睛——和与眼球运动有关的肌肉感觉一起，便足以告诉我们三维空间。
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外部客体的映像描绘在作为二维画布的视网膜上；它们是透视图。
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但是，因为眼睛和客体是可动的，所以我们依次看到从不同的视点得到的同一物体的各种透视图。
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同时，我们发现，从一个透视图到另一个透视图的转换常常伴随着肌肉感觉。
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如果从透视图A到透视图B的转换以及从透视图A’到透视图B’的转换，伴随着同样的肌肉感觉，我们把它们相互比拟为同一性质的操作。
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其次，研究一下这些操作结合在一起的规律，我们认识到，它们形成一个群，这个群的结构与刚体运动的结构相同。
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现在，我们看到，正是从这个群的特性，我们引出了几何学空间的概念和三维的概念。
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这样一来，我们明白了三维空间的观念如何能够从这些透视图的展演中产生出来，尽管它们中的每一个仅仅是两维的，这是由于它们按照某些规律相互跟随。
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好了，正如三维图形的透视图能够做在平面上一样，我们也能够把四维图形的透视图做在三维（或二维）的图画上。对于几何学家来说，这只不过是儿戏而已。
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我们甚至能够从许多不同的视点对同一图形做出许多透视图。
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