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同样，我们务必仔细区分各类假设。其中一类假设是极其自然的，人们几乎不能避免它。人们难得不假定，十分遥远的物体的影响完全可以忽略，小移动遵循线性定律，结果是其原因的连续函数。我同样将要讲对称性给予的条件。事实上，这一切假设形成了数学物理学所有理论的公共基础。它们是最后应该被舍弃的东西。
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还有第二类假设，我将称其为中性假设。在大多数问题中，解析家在计算之初就假定，或者物质是连续的，或者相反，物质是由原子构成的。他可以做相反的假定，而不改变他的结果。他只可能比较费神地得到这些结果；这就是一切。因此，譬如实验确认（confirmation）了他的结论，他可以认为他证明了原子的真实存在吗？
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在光学理论中，引入了两种矢量，其一被看做速度，其二被视为涡旋。这里还是一个中性假设，因为采取正好相反的假设，也能得到同样的结论。因此，实验成功也不能证明第一个矢量实际上是速度；实验只能证明一件事，即它是矢量。这是在前提中实际引入的唯一假设。为了把我们软弱的心智所要求的具体外观给予它，那就必须或者视其为速度，或者视其为涡旋，按同样的方式，或者必须用字母x表示它，或者必须用字母y表示它。然而，不管结果如何，正像这不证明把它称为x而不称为y是对还是错一样，这也不证明把它看做速度是对还是错。
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只要这些中性假设的特征不被误解，它们就永无危险。这些假设可能是有用的，它们或者作为计算的技巧，或者有助于我们理解具体的图像，或者如人们所说的那样坚定我们的观念。从而没有排除它们的场合。
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第三类假设是真正的概括。它们是实验必须确认或否证的假设。不管确认或宣告不适用，它们将总是富有成效的。但是，由于我已经提出的理由，它们将只有在它们为数不太多的情况下才是富有成效的。
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数学物理学的起源。让我们进一步深究一下，比较仔细地研究一下容许数学物理学发展的条件。我们立即看到，科学家的努力总是为了把实验直接给出的复杂现象分解为为数众多的基本现象。
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这可以用三种不同的方式来作：首先，在时间里分解。其目的仅仅是把每一时刻与紧挨它的前一时刻联系起来，而不是把现象的渐次发展包容在它的整体中。人们承认，世界的实际状态只依赖于紧挨着的过去，也可以说，它不受遥远的过去的记忆的直接影响。由于这个公设，我们不去直接研究现象的整个接续，可以把我们自己局限于它的“微分方程”。我们用牛顿定律代替开普勒定律。
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其次，我们尝试在空间中分析现象。实验给予我们的是一堆混乱的事实，这些事实在相当大的舞台上演出。我们必须试图发现基元现象，这些现象反而将定域在很小的空间区域。
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举几个例子也许可以更充分地理解我的思想。假如我们希望研究正在冷却的固体的温度分布，我们永远也不会成功。如果我们想到固体的一点不能直接把它的热传给遥远的点，那么一切就变得简单了；该点将把它的热仅仅传给紧邻接的点，然后热流逐渐地到达固体的其他部分。基元现象是两个相邻点之间的热交换。只要我们承认——这是很自然的——它不受其距离是易觉察的分子的温度的影响，那么问题就被严格定域了，也就比较简单了。
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我折弯一根棒。它将呈现出十分复杂的形状，直接研究这种形变是不可能的。但是，不管怎样，我能够着手处理它，只要我注意到棒的弯曲是棒的很少的要素形变的结果，而且这些要素每一个的形变只与直接施加在它上面的力有关，而与可能作用在其他要素上的力根本无关。
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我可以毫不费力地举出许多例子，在所有这些例子中，我们承认不存在超距作用，或者至少认为不存在大距离的作用。这是一种假设。它并非总是为真，引力定律向我们表明了这一点。因此，它必须受到证实。如果它被确认了，即使是近似地确认了，那也是宝贵的，因为它能使我们至少用逐次逼近法来建造数学物理学。
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如果这个假设经不起检验，那我们就必须寻找其他类似的东西；因为还有其他手段达到基元现象。如果几个物体同时作用，那么可能发生这样的情况：它们的作用可以是独立的，而且或者作为矢量，或者作为标量，彼此简单地相加。基元现象因而是孤立物体的作用。或者，我们不得不再次处理小运动，或更普遍地处理小变分（variations），这服从众所周知的叠加律。于是，所观察到的运动将被分解为简单的运动，例如声被分解为谐音，白光被分解为单色光。
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当我们发现在什么方向对于寻找基元现象来说是可取的时候，我们用什么办法才能达到目的呢？
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首先，常常会发生这种情况：为了检测它，或者更恰当地讲为了检测它对我们有用的部分，没有必要深入到机制之内；大数定律就足够了。
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让我们再举一个热传播的例子。每一个分子都向每一个邻近的分子发出辐射线。我们并不需要知道按照什么定律。如果我们就此做出任何假定，那么它可能是中性假设，从而它是无用的、不能证实的。事实上，由于平均作用和媒质的对称性，所有差别都被拉平了，而且不管可能做什么假设，结果总是相同的。
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在电理论和毛细现象理论中，也出现同样的情况。邻近的分子相互吸引和排斥。我们不需要知道按照什么定律；在我们看来，只要这种引力仅在小距离内才可察觉，只要分子是极多的，只要媒质是对称的就足够了，我们只要让大数定律起作用就行了。
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在这里，基元现象的简单性再次藏匿在可观察现象的复杂性下面；但是，这种简单性本身只是表观的，它隐蔽着极其复杂的机制。
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达到基元现象的最好手段显然是实验了。我们应当用实验设法解开自然界供给我们研究的一捆复杂的乱丝，仔细地研究尽可能多的孤立的要素。例如，自然界的白光可以借助棱镜分解为单色光，可以借助起偏振镜分解为偏振光。
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不幸的是，这既非总是可能的，亦非总是充分的，有时心智要超过实验。我将只引证一个例子，这个例子经常强烈地震撼着我。
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如果我分解白光，我将能够把光谱的一小部分孤立起来，但是这部分无论可能多么小，它总会保持一定的宽度。同样地，所谓单色光的自然光给我们一条十分窄的线，但是不管怎样，它并不是无限窄。可以设想，在用实验研究这些自然光的特性时，用越来越精细的光谱线做试验，最后便通过一个极限，于是可以说，我们成功地获悉了严格的单色光的性质。
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这不可能是准确的。设从同一光源发出两束光线，我们先使它们在两个垂直平面上偏振，然后使它们返回到同一偏振面，再试图使它们发生干涉。如果光严格地是单色的，那么它们就会干涉。用我们的接近单色的光作实验，就没有干涉现象，无论谱线多么窄也不行。为了发生干涉，就必须使谱线比已知的最精细的谱线还要窄几百万倍。
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可是在这里，我们被通过极限欺骗了。心智必须超过实验，如果能成功地做到这一点，那正是因为心智容许自己受简单性本能的指导。
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知道基本事实能使我们用方程表达问题。此外只要通过组合，从这个方程演绎出能够观察和能够确认的复杂事实就行了。这就是所谓的积分，它是数学家的事务。
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人们可能要问，在物理科学中，概括为什么如此迅速地采取数学形式呢？现在，理由是很容易看到的。这不仅因为我们具有用数字表示的定律；还因为可观察的现象是由大量的完全相似的基元现象叠加而成的。从而很自然地引入了微分方程。
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每一个基元现象服从简单的定律还是不够的；所有这些组合在一起的现象必须服从相同的定律。唯有这样，数学的介入才会有用处；数学实际上教导我们把同类的东西与同类的东西组合起来，数学的目的在于了解组合的结果，不需要重新一个一个地组合。如果我们不得不数次重复同一运算，那么由于它通过一种归纳法预先告诉我们运算的结果，从而能使我们避免这种重复。在上面的关于数学推理的那一章中，我已经说明了这一点。
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