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科学与假设 第十一章 概率演算
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在这里查明关于概率演算的思想，无疑会使人感到惊讶。它与物理科学的方法有什么关系呢？可是，我要提出而不去解决的问题自然地呈现在正在思考物理学的哲学家的面前。正是针对这一情况，我在前两章常常不得不使用“概率”和“偶然性”的词汇。
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正如我在上面已经说过的：“预见的事实只能是可几的。一个预见在我们看来不管建立得可能多么牢固，我们从来也没有绝对保证，实验不会否证它。然而，其概率往往是很大的，以致我们实际上可以满意它。”稍后，我又补充说，“看看简单性的信念在我们的概括中起了什么作用。我们已在为数众多的特例中证实了简单的定律；我们拒不承认这种如此经常重复的一致只能是偶然性的结果，……”
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这样，在许多境况下，物理学家与只盼望机遇的赌徒处在同一位置上。他像运用归纳推理一样，也常常或多或少有意识地需要概率演算，这就是我不得不引入插话、中断我们的物理学方法研究的原因，以便稍为比较仔细地审查一下这种演算的价值以及相信它有什么好处。
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概率演算这个名字本身就是一个悖论。与确定性相对的概率是我们不知道的东西，我们如何能够演算我们不知道的东西呢？可是，许多著名的学者已经从事这种演算，而且不能否认，科学从中获得了不少好处。
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我们如何能够说明这个表观上的矛盾呢？
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概率被定义了吗？它到底能够被定义吗？如果不能定义，那我们怎么敢针对它进行推理呢？人们将说，这个定义是很简单的：一个事件的概率是有利于这个事件的个例数与可能的个例总数之比。
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一个简单的例子将表明，这个定义是多么不完善。我掷出两个骰子。要使这两个中的一个至少出现六点的概率是多少？每一个骰子能够显示出六个不同的点；可能的个例数是6×6＝36；有利的个例数是11；概率是11/36。
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这是正确的答案，但是，难道我不可以同样说：两个骰子上现出的点能够形成6×7／2＝21种不同的组合吗？在这些组合中，6个是有利的；概率是6/21。
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现在，为什么第一种枚举可能个例的方法比第二种合理呢？
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无论如何，这不是我们的定义所能告诉我们的。
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因此，我们只好用下述说法完善我们的定义：“一个事件的概率是有利于这个事件的个例数与可能的个例总数之比，倘若这些个例同样是概然的话。”这样一来，我们便被迫用概然定义概然了。
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我们怎么能够知道，两个可能个例同样是概然的呢？这难道是依据约定吗？如果我们在每个问题的开头都放一个明晰的约定，那可就好了。于是，除了应用算术和代数法则以外，我们将无事可作，而且我们将完成我们的演算，我们的结果毫无怀疑的余地。但是，如果我们希望稍微应用一下这个结果，那么我们必须证明我们的约定是合理的，于是我们将发现我们恰恰面临着我们企图回避的困难。
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人们能说健全的感官足以向我们表明应该采纳什么约定吗？哎呀！贝尔特朗德（Bertrand）先生为了自娱而讨论了下述的简单问题：“圆的弦可比内接正三角形之边大的概率是多少？”这位杰出的几何学家相继采纳了健全的感觉似乎同样都能说出的两个约定，他发现一个概率是1/2，另一个概率是1/3。
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似乎从所有这一切就能断言，概率演算是一门无用的科学，而且我们必须怀疑这种模糊的本能，可是我们刚才还称其为健全的感觉，并习惯于求助它来证明我们的约定是合理的呢。
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但是，我们也不能赞成这个结论；没有这种模糊的本能，我们便无从做起。没有它科学则是不可能的，没有它我们既不能发现定律又不能应用定律。例如，我们有权利阐述牛顿定律吗？毋庸置疑，许多观察都与它相符；但这不是偶然性的简单结果吗？此外，这个定律几个世纪以来都为真，我们怎么知道它明年是否还将为真呢？对于这个异议，你会感到无从回答，除非说：“那是极其不可能的。”
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但是，姑且承认这个定律吧。依靠它，我自信我自己能够计算从现在起一年后土星的位置。我有权利相信这一点吗？谁能够告诉我，在从现在到那时这段时间内，一个以极大速度运动的巨大质量不会通过太阳系附近，从而产生未预见到的扰乱呢？在这里，只能再一次回答：“那是极其不可能的。”
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从这种观点来看，全部科学只可能是概率演算的无意识的应用而已。谴责这种演算就是谴责整个科学。
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在有些科学问题上，插入概率演算是比较明显的，我将稍微详述一下。在这些问题的最前沿有内插法问题，在内插法中，已知一定数目的函数值，我们企图猜测中间值。
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我同样要提到著名的观察误差理论，我以后还要提及它；气体运动论这个众所周知的假设假定，每一个气体分子都描绘出极复杂的轨道；但是，由于大数的效果，唯一可观察的平均现象服从马略特和盖-吕萨克（Gay-Lussac）的简单定律。
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所有这些理论都建立在大数定律的基础上，概率演算显然会毁坏它们。的确，它们只有特殊的利益，除了涉及内插法外，这些都是我们心甘情愿付出的牺牲。
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但是，正如我上面说过的，可以受到怀疑的也许不仅仅是这些部分的牺牲；整个科学的合法性恐怕将受到挑战。
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我确实知道有人可能会说：“我们是无知的，可是我们必须行动。为了行动，我们无暇全力以赴地进行充分的调查，以消除我们的无知。况且，这样的调查也需要无数的时间。因此，我们必须在未知之前作决定；不论成功与否，我们不得不这样做，我们必须在不完全相信这些法则的情况下遵循它们。我知道的并不是某一事物是真实的，不过在我看来，最好的方针就是权当它是真实的而行动。”从那时起，概率演算从而科学本身都只有实际的价值了。
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不幸的是，困难并没有因此而消失。赌徒想一举获胜；他询问我的意见。如果我向他提出建议，那么我要运用概率演算，但是我不能保证成功。这就是我所谓的主观概率。在这个个案中，我必须满足于我刚才给出梗概的说明。但是，假定一观察者在赌博现场，他记下各盘的输赢，赌博继续了很长时间。当他汇总他的记录时，他将发现，事件的发生与概率演算的规律一致。这就是我所谓的客观概率，正是这个现象必须加以说明。
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有许多保险公司应用概率演算法则，它们把红利分给它们的股东，这些红利的客观实在性是无可辩驳的。乞灵于我们的无知和行动的必要性不足以说明它们。
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