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大概存在着y与x成比例的普遍定律吧，大概小小的发散是由于观察的误差吧？这是人们正在不断询问的一种类型的问题，每当我们从事科学工作时，我们都在无意识地解决它。
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现在，我将把这些不同范畴的问题提出来加以评论，同时依次讨论我上面所谓的主观概率和客观概率。
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Ⅱ．数学中的概率。自从1882年以来，求圆面积的不可能性已被证明；但是，即使在那时之前，所有几何学家都认为，这种不可能性是如此之“可能（概然）”，以致科学院不经审查，就抛弃了一些不幸的狂人每年递交的关于这个课题的论文，哎呀，这些论文可真是太多了！
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科学院错了吗？显然不是这样，它清楚地知道，这样做不会冒一点扼杀重大发现的危险。科学院不可能证明它是对的，但它十分清楚地了解，它的本能不会犯错误。假使你要问科学院院士，他们会回答说：“我们曾作过比较，是无名学者能够解决长期努力依然悬而未决的问题的概率大，还是地球上多了一个狂人的概率大；在我们看来，第二个概率好像比较大。”这些是十分充足的理由，但它们毫无数学根据，它们纯粹是心理的理由。
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如果你再进一步追问他们，他们会补充道：“你为什么要假定超越函数的特别值是代数数呢？如果π是一个代数方程的根，你为什么要假定这个根是函数Sin2x的周期，而同一方程的其他根则又不然呢？”总而言之，他们要求助于以模糊形式出现的充足理由律。
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然而，他们能够从中推出什么呢？至多不过推出它们时代使用的行为规则，与其阅读激起他们合理怀疑的学究式的文章，倒不如把时间花在日常工作上更有用。但是，我上面所谓的客观概率与这里的第一个问题毫无共同之处。
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至于第二个问题，则是另外的样子。
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考虑一下我在对数表中找出的头10000个对数。在这10000个对数中，我随意取出其中之一。它的第三位小数是偶数的概率是多少？你将毫不犹豫地回答是1/2；事实上，如果你在对数表中挑出这10000个数的第三位小数，你将发现偶数和奇数几乎一样多。
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或者，如果你乐意的话，让我们写出与10000个对数对应的10000个数来；若相应的对数的第三位小数为偶数，则这些数中的每一个是+1，若为奇数，则是-1。接着，取这10000个数的平均值。
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我会毫不迟疑地说，这10000个数的平均值大概是0，如果我实际去计算它，我便可以核验它是极小的。
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但是，即使这一核验也是不需要的。我可以严格地证明，这个平均值小于0.003。为了证明这个结果，我不得不作相应冗长的演算，这里没有它的篇幅，为此我只好引用我在1899年4月15日的《科学总评论》上发表的一篇文章。我希望引起注意的唯一之点如下：在这一演算中，我只应需要把两件事实作为我的个例的基础，也就是说，对数的一阶导数和二阶导数在所考虑的区间内依然处在某些极限之间。
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因而，这是一个重要的结果，即该性质不仅对对数为真，而且对任何连续函数也为真，由于每一个连续函数的导数都是有限的。
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如果我预先确定了这个结果，首先是因为我就其他连续函数常常观察到类似的事实；其次，是因为我在心里以或多或少的无意识的和不完善的方式做过推理，这种推理能使我得出前面的不等式，正如一位娴熟的演算能手，在做完乘法之前，总能考虑到它大约是多少了。
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此外，由于我所谓的我的直觉只不过是真实推理片断的不完善的概要，这就明白了观察为何能确认我的预见，客观概率为何与主观概率一致。
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我将选择下述问题作为第三个例子：随便取一个数u，n是一个给定的很大的整数。Sin nu的概值（probable value）是什么？这个问题独自毫无意义。为了使它有意义，就需要约定。我们将公认，数u处在a和a＋da之间的概率等于φ（a）da；因此，它与无限小区间da成比例，而且等于这个区间与仅依赖于a的函数φ（a）之积。至于这个函数，我可以任意选择它，但是我必须假定它是连续的。当u增加2π时，Sin nu的值依然相同，因此我可以在不失去普遍性的情况下设想，u处在0与2π之间，这样我便有可能假定，φ（a）是周期函数，其周期是2π。
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所求的概值可以方便地用单积分表示，很容易证明，这个积分小于
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2πMk/nk，
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Mk是φ（u）的k阶导数的极大值。于是我们看到，如果k阶导数是有限的，那么当n无限增加时，我们的概值将趋于0，而且比1/nk-1更快地趋于0。
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因此，当n很大时，Sin nu的概值是零。要定义这个值，我需要约定；但是，无论约定可能是什么，其结果总是相同的。在假定函数φ（a）是连续的和周期的时，我只是给我自己强加了很少的限制，这些假设是如此自然，以致我们可以自问，如何能够避免它们。
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通过对前述三个在各方面如此不同的例子的审查，已经使我们一方面瞥见到哲学家所谓的充足理由律是什么，另一方面瞥见到对所有连续函数都是共同的某些性质这一事实的重要性。研究物理科学中的概率将导致我们得到同一结果。
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Ⅲ．物理科学中的概率。我现在来到与我们所谓的第二级无知有关的问题上，也就是说，在这些问题中，我们知道定律，但不知道系统的初始状态。我能增加许多例子，但只想举一个。在黄道带上，小行星目前可能的分布如何？
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我知道它们服从开普勒定律。我们甚至根本不用改变问题的性质就可以假定，它们的轨道都是圆的，并且处在同一平面上，我们知道这个平面。另一方面，谈到它们的初始分布，我们却一无所知。不过，我们却毫不犹豫地断定，它们的分布现在几乎是均匀的。为什么呢？
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设b是小行星在初始时刻的黄经，也就是说，初始时刻是零。设a是它的平均运动。它在目前时刻，即在t时刻的黄经将是at＋b。说目前的分布是均匀的，也就是说at＋b的倍数的正弦和余弦之平均值是零。为什么我们肯定这一点呢？
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让我们用平面上的一点来代表每一个小行星，也就是说，用其坐标恰恰是a和b的点来代表。这一切表示点将被包括在该平面的某一区域内，但是当点很多时，这个区域看来好像布满了点。关于这些点的分布，我们一无所知。
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当我们想把概率演算用于这样的问题时，我们怎么办呢？在该平面的某一部分可以找到一个或多个表示点的概率是多少？由于我们无知，我们只好做任意的假设。为了说明这个假设的性质，请容许我利用粗糙的但却是具体的图像，以代替数学公式。让我们设想，在我们平面的表面上，铺一层虚构的实物，其密度是可变的，但却是连续地变化的。然后我们一致说，在该平面一部分上找到表示点的概数（probable number）与在那里找到的虚构的物质之量成比例。因此，如果我们在该平面上有相同范围的两个区域，那么在这一区域或那一区域找到一个小行星的表示点的概率将与在这一区域或那一区域虚构物质的平均密度彼此一样。
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