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要给这样的现象以力学说明，必须做什么呢？
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人们将试图用普通物质的运动，或者用一种或多种假想的流体来解释它。
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这些流体将被认为是由为数极多的孤立的分子m构成的。
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我们何时能说我们对现象有了完备的力学说明呢？其时机在于：一方面，要待我们知道这些假想的分子m的坐标所满足的微分方程式，而且这些方程必须符合动力学原理；另一方面，要待我们知道把分子m的坐标定义为参数q的函数之关系才行，这些参数q是可由实验得知的。
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正如我说过的，这些方程必须符合动力学原理，尤其要符合能量守恒原理和最小作用原理。
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这两个原理的第一个告诉我们，总能量是常数，这个能量可以分为两部分：
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1°动能或活力，它取决于假想分子m的质量和它们的速度，我将称其为T。
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2°势能，它仅取决于这些分子的坐标，我将称其为U。正是两种能T和U之和是常数。
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现在，最小作用原理能告诉我们什么呢？它告诉我们，系统在从时刻t0所占据的初始位置到达t1所占据的最终位置时，必须采取这样的路径，以便在两个时刻t0和t1之间所逝去的时间间隔内，“作用”（也就是说两个能量T和U之差）的平均值将尽可能小。
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如果两个函数T和U已知，这个原理足以决定运动方程。
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在从一个位置到达另一个位置的所有可能的路径中，显然存在着一个路径，它使得该作用平均值比任何其他的作用平均值都要小。而且，只存在一条路径；最小作用原理正是由此足以决定所遵循的路径，从而决定运动方程。
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这样，我们便得到所谓的拉格朗日方程。
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在这些方程中，独立变量是假想分子m的坐标；但是，我现在假定，人们把实验可以直接得到的参数q作为变量。
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因此，必须把能量的两部分表示为参数q和它们的导数的函数。它们显然将以这种形式出现在实验家的面前。实验家自然将力图借助他能够直接观察的量来定义势能和动能。〔2〕
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姑且承认，系统将总是沿着平均作用最小的路径从一个位置到另一个位置。
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现在，不管T和U是否借助于参数q和它们的导数表示；也不管我们是否借助那些我们规定初始位置和最终位置的参数；最小作用原理依然总是为真。
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又在此时此处，在导致从一个位置到另一个位置的所有路径中，存在一条平均作用最小的路径，而且只存在一条。因此，最小作用原理足以决定那些规定参数q变化的微分方程。
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这样得到的方程是拉格朗日方程的另一种形式。
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为了形成这些方程，我们既不需要知道把参数q与假设分子的坐标联系起来的关系，也不需要知道这些分子的质量，亦不需要知道作为这些分子坐标的函数的U的表达式。
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我们需要知道的一切是作为参数的函数U的表达式、作为参数q及其导数的函数T的表达式，即作为实验材料的函数的动能和势能的表达式。
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于是，我们将在下述两件事情中二者择一：或者对于函数T和U的适当选择，像我们刚刚所说的那样构造的拉格朗日方程将与从实验推导出来的微分方程等价；或者不存在会出现这种一致的函数T和U。很清楚，在后一个案中，力学说明是不可能的。
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力学说明是可能的必要条件在于，我们能够以这样的方式选择函数T和U，以便满足最小作用原理，这也包括能量守恒原理。
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而且，这个条件是充分条件。事实上，假定我们找到参数q的函数U，它表示能量的一部分；假定能量的另一部分我们将用T来表示，它是参数q及其导数的函数，而且是关于这些导数的二次齐次多项式；最后，假定借助这两个函数T和U形成的拉格朗日方程符合实验材料。
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为了从中演绎力学说明，什么是必要的呢？其必要条件是，能够把U看做是系统的势能，能够把T看做是同一系统的活力。
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至于U，没有什么困难，但是能够把T视为物质系统的活力吗？
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