1701400987
1701400988
1701400989
1701400990
她输入40，线更陡了。
1701400991
1701400992
“我想这其中一定有某种联系。但是至于为什么，我觉得很难理解……那么80呢？如果40到这里，那80应该能到y轴了。让我试试看。”
1701400993
1701400994
1701400995
1701400996
1701400997
她输入80，线更陡了，但也没有达到垂直。
1701400998
1701400999
“对了，是无穷大，是不是？永远无法达到的。”蕾妮快要接近正确答案了，但马上又回到原先错误的概念中。
1701401000
1701401001
“那我该怎么办呢？100？每次把y轴数值加倍，都只能使线更靠近y轴，却不能使之与y轴重合……”
1701401002
1701401003
她输入100。
1701401004
1701401005
1701401006
1701401007
1701401008
“更接近了，但就是重合不了。”
1701401009
1701401010
她一边想一边自言自语，很显然她的理解越来越深入了：“嗯，我明白了，虽然……但……我明白了。y轴数值一旦增加，这条线就更接近y轴一些。不过我还是有些地方搞不明白……”
1701401011
1701401012
她停下来，歪着脑袋看屏幕。
1701401013
1701401014
“我有点不明白。现在已经是1/10了，但这并不是我想要的……”
1701401015
1701401016
接着，她发现了问题的症结所在。
1701401017
1701401018
“哦！无论y轴数值增加多少，x轴都是零。也就是任意数字除以零！”她的脸闪耀着光芒，“直线就是任意数字除以零——而这样的数是无穷大的。呵呵，好的，现在我明白了。直线的斜率是不存在的。哈哈哈。这下我可明白了，我不能再忘了。”
1701401019
1701401020
异类：不一样的成功启示录 [:1701398839]
1701401021
怎样做才算是勤奋
1701401022
1701401023
多年以来，舍恩菲尔德利用录像机拍摄了无数学生解决数学难题的过程。但是蕾妮的这段录像是舍恩菲尔德最推崇的，因为它完美展现了数学学习的秘密。从蕾妮开始学习程序使用，到她最后说“哈哈哈，这下我可明白了”中间一共过去22分钟。这可是一段相当长的时间。“这是一道八年级数学题，”舍恩菲尔德说，“如果我让一个普通水平的八年级学生坐到蕾妮的位置上，我估计试不了几次他们就会说：‘我做不出来，给我解释一下吧。’”在另一次问卷调查中，舍恩菲尔德问高年级学生，当面对一道难题做不出来放弃之前会花多少时间思考，他得到的答案从30秒钟到5分钟不等，平均两分钟。
1701401024
1701401025
但是蕾妮却一直坚持。她不断试验，虽然屡战屡败，但屡败屡战。她把自己的设想说出来，反复思索。她不断坚持，不愿放弃。一开始她就朦朦胧胧地知道自己画线的方法有问题，但她一直坚持到彻底解决问题才肯罢休。
1701401026
1701401027
蕾妮不是数学天才，“斜率”或“无穷大”这样的基本数学概念对她来说都不是很容易。但舍恩菲尔德却从她身上发现了不一般的品性。
1701401028
1701401029
“她身上的某种意愿驱使她做这种努力，”舍恩菲尔德说，“她并不接受肤浅的解释，然后说一句‘是的，你说得对’就走开；她愿意更深入地理解，这一点异乎寻常。”他把录像退回到蕾妮发现斜率造成图形改变而露出一脸好奇的片段。
1701401030
1701401031
“看，”他说道，“她恍然大悟。许多学生对改变斜率造成图形变化无动于衷，而她却在思考：‘这跟我想的不太一样，我不太理解。但这一点一定很重要，我想找到答案。’当她最终找到答案的时候，她说：‘是的，这就对了。’”
1701401032
1701401033
舍恩菲尔德在大学教授“疑难解决”课程。这门课程设计的初衷，用他的话来说，就是帮助学生摆脱以前养成的不良学习习惯。“我选了一个难度适中的问题，”他说，“我告诉学生：‘我给你们布置一个为期两星期的课外考试。我知道你们会怎么做。第一个星期你们什么都不用做，等第二个星期才开始。但是现在我要提醒你们：如果你们只花一个星期，你们是解决不了这道题目的。你们中肯定也有人今天就动手解决，但很快会被困住。你们会来跟我说，这题目我做不出来。但那个时候我会告诉你们，坚持下去，到了第二个星期，自然会有意想不到的进展。’”
1701401034
1701401035
很多时候我们希望自己天生就擅长数学。然而只有一部分人有这种能力，另一部分人则没有。但对于舍恩菲尔德来说，态度比能力更重要。只要你有意愿，你就能驾驭数学。这也正是舍恩菲尔德向学生传授的思想。成功就是坚持不懈，就是顽强不屈，就是别人花30秒钟就放弃的事你却花22分钟去思考的坚定信念。只要组织一班有蕾妮精神的学生，给他们提供地方，给他们时间让他们在数学上钻研，他们就能取得长足进步。想象一下，在一个人人都有蕾妮精神的国度，人们的这一品性发源于其文化本身，正如“荣誉文化”植根于坎伯兰高原，那么这样的国度的人们就不可能不擅长数学。
1701401036