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但为什么用马西莫·皮亚泰里·帕尔马里尼（Massimo Piattelli-Palmarini）的话来说，人们似乎常常是“概率盲”呢？许多数学家和科学家总是悲叹，普通人在对风险推理时表现出数学盲。心理学家阿莫斯·特沃斯基和丹尼尔·卡尼曼积累了大量巧妙的事例，来展示人们对机遇的直觉把握似乎蔑视了概率理论的基本规则。这里有一些著名的例子：
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人们怀着赌博的心态购买州政府彩券，有时被称为“愚蠢税”。但既然赌博场馆必须盈利，赌徒一般而言，就必定会输。
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人们对飞机的恐惧更甚于汽车，特别是在看（听）到一条残酷的飞机失事新闻之后，尽管统计数字表明，乘飞机要比坐汽车安全得多。人们害怕核能，尽管更多的人因煤炭而残疾或丧命。每年有1000名美国人死于意外触电，但摇滚明星们没有发起活动来降低家居电压。人们鼓噪着要禁止杀虫剂残余和食品添加剂，尽管它们与植物为了阻止虫子吃掉自己而进化出的数千种自然致癌物相比，致癌的风险微乎其微。
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人们觉得如果轮盘在一排中黑的那里已经停下过6次，它就该在红的那里停了，尽管轮子没有记忆，每次旋转也都是独立的。一大批自封的预言家形成一个产业，在股票市场的随机游走中产生幻觉倾向。篮球迷们相信篮球运动员在“手热”的时候，投篮命中率如有神助，尽管他们空心入框和打板弹出的接连顺序其实与掷硬币也没什么两样。
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下面这个问题是提给哈佛大学医学院的60名学生和员工的：“如果对一种发生率为1/1000的疾病检验呈现阳性的错误率为5%，一个人被发现有阳性结果而事实上也罹患这种疾病的概率是多少，假定你对这个人的症状一无所知的话？”最常见的回答是0.95。回答的平均值是0.56。正确答案是0.02，只有18%的专家猜对了这个答案。根据贝叶斯定理，这个答案可以用发生率或基本率（1/1000）乘以检验的敏感性或击中率（检验呈阳性的患者比例，假定为1），再除以阳性检验结果的整体发生率（检验结果呈阳性的情况下，分别相对于病人和健康人患该病机会加总的百分比——也就是说，检验呈阳性的患病者1/1000×1和检验呈阳性的健康人999/1000×0.05之和）。这个问题的令人头痛之处在于，许多人把“错误的阳性比率”误解为健康人中呈阳性结果的比例，而没有解释为呈阳性检验结果的健康人比例。但最大的问题是人们忽视了基本率（1/1000），这个比率本应当提醒他们这种疾病非常罕见，因此对于某个患者而言，即使检验结果呈阳性，也不大可能患有该病。他们很显然犯了“因为斑马有马蹄声，所以马蹄声暗示着斑马”这样的谬误。调查显示，当病人对于一种罕见疾病的测试呈阳性时，许多医生常会无必要地吓唬这些病人。
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来试试这个问题：“琳达31岁，单身，为人坦率，非常聪明。她的专业是哲学。作为一名学生，她非常关注歧视和社会公正方面的问题，她还参与了反核武器的示威活动。琳达是一名银行出纳员的概率是多少？琳达是一名银行出纳员而且积极参与女权主义活动的概率是多少？”人们有时把“她是一名女权主义银行出纳员”的概率比“她是一名银行出纳员”的概率估计得还要高。但“A且B”比单独“A”的概率还要高，这是不可能的。
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当我在课堂上讲授这些研究发现时，一个学生大声说：“我真为我所属的物种而感到丢脸！”其他人也感到了这种羞愧，如果不是为他们自己的话，那就是为街上的路人。特沃斯基、卡尼曼、古尔德、皮亚泰里·帕尔马里尼，还有许多社会心理学家都得出结论，认为心智并没有被设计为掌握概率法则，尽管这些法则和规律支配着宇宙。大脑能够处理有限量的信息，所以它没有来计算定理，而是使用粗略的经验法则。
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一个法则是：一个事件越令人记忆深刻，它就越可能发生（我能记得最近一次恐怖的飞机失事，所以飞机不安全）。另一个是：一个人越类似于一种刻板印象，他就越可能属于那种类别（比较我对于银行出纳员心理意象的符合程度，琳达更符合我对于女权主义银行出纳员的心理意象，所以她就更可能是女权主义银行出纳员）。有着渲染性标题的畅销书籍对坏消息的传播更加推波助澜：《非理性：内心中的敌人》《注定的幻觉：理性的错误如何控制我们的心理》《我们如何知道不是如此：日常生活中人类理性的谬误》。我们作为直觉统计学家的不称职解释了人类愚蠢和偏见的沮丧历史。
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特沃斯基和卡尼曼的论证是心理学中最发人深省的研究之一，这项研究还使人注意到我们对社会和个人风险的公共讨论，其知识水平之低下令人沮丧。但在一个概率的世界中，人类心智真的对概率这么不在意吗？对于人们常会搞砸的问题，其解决方法可以在一个廉价计算器上敲几个键就算得出来。许多动物，甚至蜜蜂，在它们觅食时都能计算精确的概率。这些计算真的超过了有数以兆计突触的人脑的信息处理能力了吗？这难以让人相信，人们也不必相信它。人们的理性不像它最初看起来的那么傻。
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首先，许多风险选择不过就是选择，这毋庸置疑。以赌徒、飞机恐惧者和化学物质远离者为例，他们真的不理性吗？有些人在等待那些能彻底改善他们生活的事件结果时，感到很愉快。有些人不喜欢被困在一个筒里，然后脑子里不断充斥着一种令人恐惧的死亡方式的念头。有些人不喜欢吃蓄意掺和了毒药的食物（就像有些人大概不会选择去吃添加了无害虫子肉的汉堡包一样）。上述这些选择比起在香草冰激凌和巧克力冰激凌中选择前者来说，一点儿也没有更不理性。
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心理学家格尔德·吉仁泽（Gerd Gigerenzer）、考斯迈德斯和托比指出，即使当人们对于概率的判断远离事实时，他们的推理也可能是有逻辑的。任何心理能力都不是万能的。颜色视觉被钠汽路灯所愚弄，但并不意味着它的设计就很差。它的设计很好，在记录不断变化照明中恒常的颜色方面远超过任何照相机（见第4章）。但在这个无法解决的问题上，它对于这个世界默认的假设还有待改进。当这个假设在一个人造的世界里不再成立的时候，颜色视觉就失灵了。对于我们的概率估计器来说，情况也是如此。
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以著名的“赌徒谬误”为例：期望硬币正面的连续出现会增加硬币反面出现的机会，仿佛硬币有记忆而且希望公平一样。我还记得自己十几岁时在一次全家度假时一回丢脸的经历。我父亲说，已经连续下了几天雨使我们不能尽兴，好天气该到了，然后我纠正他，说他犯了赌徒谬误。但受困几日的爸爸是对的，是他无所不知的儿子错了。冷锋没有在一天结束时掠过地球，第二天早晨又来新的冷锋。云的覆盖一定有一般的大小、速度和方向，如果一周的多云天气确实预示着云层后缘的临近和即将到来的拨云见日，这并不让（现在的）我感到惊讶，就像一列行进的火车中第100节车厢比第3节车厢更可能预示着车尾的临近。
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许多事件都像这件事一样。它们有着一段有生命的历史，一个随时间推移而发生的变化着的概率，统计学家们称之为风险函数。一个精明的观察者应当犯赌徒谬误，并尝试根据事件现有的历史来预测它下一次的发生，这种统计被称为时间序列分析。有一个例外：被设计用来导致事件独立于其历史而发生的设备。哪种设备会这样做？我们把它们称之为赌博机器。它们存在的原因就是为了挫败喜欢将模式转化为预测的观察者。如果我们对模式的热爱是拙劣的，因为随机性随处可见，那么赌博机器会很容易建造，赌徒们也很容易被欺骗。事实上，轮盘赌、老虎机、骰子、扑克和硬币都是精密的仪器；它们对制造的要求很高，但也易于被击败。在二十一点中犯“赌徒谬误”的算牌者记住发的牌，并赌它们不会很快再次出现，他们是在拉斯维加斯不受欢迎的人。
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所以在除了赌场之外的任何世界，赌徒谬误都几乎不是一个谬误。如果只是因为我们无法赢过赌博机器，就把我们对事物直觉式的预测能力称作谬误，这显然是一种因果倒置的说法。赌博机根据定义就是设计来击败我们直觉预测的。这就像说，我们的手设计不佳是因为它们难于脱开手铐。对于“手热”错觉和体育迷们的其他谬误也是同样道理。如果篮球投篮易于预测的话，我们也就不再把篮球称为一项运动了。有效率的股票市场是另一项被设计用来击败人类模式监测的发明。它的设立是为了让交易员迅速根据随机游走的偏差来利用资本，从而也就消除了这种偏差。
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其他所谓的谬误可能也是由欺骗我们概率计算器的进化玩意儿所引发的，而不是由天生的设计缺陷所导致的。“概率”有许多含义。一个是长期的相对频率。“一分硬币面朝上停下来的概率是0.5”的意思是，扔100次硬币，50次会是面朝上。另一个意思是对于单个事件结果的主观置信。从这个方面讲，“一分硬币面朝上停下来的概率是0.5”的意思是指在0到1的刻度上，你对扔下一次面朝上的置信是在确定它会发生和确定它不会发生的中间值。
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表示单个事件概率的数字只是作为主观置信的估计才有意义，这在现在很常见：明天下雨的概率有30%；加拿大人队今晚击败悍鸭队的概率是5
:3。但心智或许进化成将概率认为是长期的相对频率，而不是对单个事件置信的数字表示。概率数学的发明只是17世纪的事情，用比例或百分比来表示则出现得更晚。百分率是在法国大革命后同其余的计量系统一起出现的，最初是用作利率和税率。输入公式算概率则是更晚近的事了：群体收集数据、书写记录、检查误差、积累档案以及刻度计算得出数字。我们祖先最接近概率的含义是对未知有效性的传闻，再加上像“很可能”这样的粗糙标签。我们祖先可用的概率一定来自他们自身的体验，其意思是指频率：多年以来，长紫斑的人中8个有5个第二天就死掉了。
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吉仁泽、考斯迈德斯、托比和心理学家克劳斯·费尔德勒（Klans Fiedler）注意到，医疗决策问题和琳达问题询问的是单个事件概率：这个病人患病的可能性有多大，琳达是银行出纳员的可能性有多大。习惯于相对频率的概率本能会觉得这种问题超过它的势力范围了。只有一个琳达，她要么是银行出纳员，她要么不是。“她是银行出纳员的概率”是不可计算的。所以他们交给人们这个难解的问题，但表述方式确是以频率的方式，不是单个事件概率。1000个美国人中有一个患这种疾病；1000个健康人中有50个检验呈阳性；我们收集了1000个美国人；有多少个检验呈阳性的人们患有这种疾病？100个人符合对琳达的描述，有多少人是银行出纳员？有多少是女权主义银行出纳员？现在大多数人——多达92%——表现得像个好统计学家了。
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这种认知疗法有着巨大的实际意义。许多艾滋病毒检验呈阳性的人估计也劫数难逃。一些人甚至采取了极端性措施，包括自杀，尽管他们既知道大多数人没有患艾滋病（特别是不属于众所周知的风险群体的人），也知道没有任何测试是十全十美的。但医生和病人们很难使用这些知识来校准他们被感染的概率，即使他们都知道这些概率。例如，最近几年在不属于艾滋病高风险群体的德国男人中，艾滋病毒呈阳性的占0.01%，典型艾滋病毒测试的敏感度（击中率）为99.99%，错误阳性率大约为0.01%。测试呈阳性病人的前景听起来似乎不太妙。但假设医生这样给病人解释：“想想10000名像你这样的男人，我们预计有一名感染了这种病毒，他基本上确定检验结果呈阳性。在9999名没有感染的男人中，还有另外一人检验呈阳性。这样我们有两个检验呈阳性的，但只有其中一个真正感染上了这种病毒。目前我们所有知道的就是你的检验呈阳性。所以你实际感染这种病毒的概率是五五开。”吉仁泽发现当概率以这种方式（像频率一样）表述时，人们（包括专门医师）在预测医疗测试后患病的概率方面准确性有极大的改善。对于其他不确定条件下的判断，比如刑事审判中的犯罪认定，情况也是如此。
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你可能会想：假定单个事件概率就只是主观置信，用相对频率来校准置信难道不是理性的吗？如果日常生活中人们不那么做，难道他们就不理性了？呵，不过，是什么的相对频率？要数频率，你得确定要数的一组事件，而单个事件属于无限多数的组。理查德·冯·米塞斯（Richard von Mises）是概率理论的一位倡导者，给出了一个例子。
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在一组35～50岁的美国妇女的样本中，4%的人在一年内患上乳腺癌。因此史密斯夫人，一位49岁的美国妇女，在下一年患上乳腺癌的可能性为4%吗？没有答案。假定在一个从45～90岁妇女的样本中——史密斯夫人也属于这个集合——11%的人在一年中患上乳腺癌。史密斯夫人的患病概率是4%，还是11%？假定她母亲患有乳腺癌，而45～90岁且母亲患有乳腺癌的妇女中，22%的人会患上该病。她的概率是4%，11%还是22%？她还吸烟，住在加州，在25岁前和40岁后各生了一个孩子，是希腊人的后裔……我们应该拿她来比较哪个群体，才能发现“真实的”概率？你可能会想，所属集合越具体，就越好——但所属集合越具体，它的容量就越小，频率也就越不可靠。如果世界上只有两个人特别像史密斯夫人，其中一个人患有乳腺癌，有人会说史密斯夫人的患病概率是50%吗？极端地讲，真正同史密斯夫人在所有细节上都可比的集合就只包含史密斯夫人自己。但在一个只有一个元素的集合中，“相对频数”没有任何意义。
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这些关于概率含义的哲学问题不是学术性的；它们影响到我们所做的每个决策。当一个吸烟者理性化地认为，他90岁的父母几十年来每天都抽一包烟，所以全国范围的概率不适用于他，他可能非常正确。在1996年总统选举中，高龄的共和党候选人成为一个问题。《新共和》杂志刊登了如下信件：
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致编辑：
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在贵刊题为《多尔太老了吗？》的社论（4月1日）中，你们的保险统计信息是误导人的。平均72岁的白人男性在5年内有27%的死亡危险，但健康和性别之外的因素还必须考虑到。那些还在工作中的人，就像参议员鲍勃·多尔那样，有着长得多的寿命。此外，统计数字显示良好的健康状况与更长的寿命相关。将这些特征考虑在内后，平均73岁（多尔如果任职总统，他当时的年龄即73岁）的人在未来4年内将死亡的概率是12.7%。
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是的，那么平均73岁，富有而且在工作，出生于堪萨斯，不吸烟，在炮弹下仍幸免于难的白人男性的概率又是多少？一个更具戏剧性的差异出现于1995年O.J.辛普森谋杀案的审判中。律师阿兰·德肖维茨在探讨此案的辩护时在电视上说，在虐待妻子的男性中，只有1/1000的人会进一步谋杀他们的妻子。在给《自然》杂志的一封信中，一位统计学家指出，在虐待妻子而之后他们的妻子被谋杀的男性当中，有一半多的人就是谋杀的凶手。
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