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由此我们总结出悖论的第二种类型：挑战常识型悖论。在这类悖论中，矛盾令人惊奇但可以解决，而且解决方法是明显的：必须放弃原来的假设。无论最初的假设在认知体系中是多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾就会迎刃而解。
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还有一类更强大的悖论，这类悖论性最强的悖论是难以被解决的。谬误型悖论和挑战常识型悖论都无法与之相比。
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在真正的悖论中，“说谎者悖论”是一个非常简单的例子。这个悖论是公元前4世纪的希腊哲学家欧布里德（Eubulides）发明的，但是它经常被错误地归功于埃庇米尼得斯（Epimenides）——后者只是一个虚构的代言人（就像柏拉图《对话录》中的苏格拉底[3]）。克里特人埃庇米尼得斯曾宣称：“所有克里特人都是说谎者。”为了把这句话转化为一个严格意义上的悖论，需要做一点儿有趣的转换，把“说谎者”定义为只说假话且从不说真话的人。于是，埃庇米尼得斯的话基本上相当于“我正在说谎”或“这句话是假的”。
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我们来分析“这句话是假的”这个版本。这个语句是真的还是假的？如果“这句话是假的”为真，那么它陈述的内容就是真的，但是它说的就是这个语句是假的，于是得出这个语句就是假的！
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既然如此，这个语句必须为假。然而，如果“这句话是假的”为假，它就必须是真的。于是，我们建立了两条归谬推理：如果它是真的，将推出它是假的，所以它不可能是真的；另一方面，如果它是假的，将推出它是真的，所以它也不可能是假的。这个悖论是本质性的，难以消除。
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在第三类悖论中，我们不清楚哪个前提应当（或可以）抛弃。这些悖论仍然悬而未决。本书将要讨论的悖论至少属于第二类，大多数属于第三类。需要提醒读者的是，这些悖论目前（指本书成书前后）基本上没有公认的解决方案。
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最好的悖论能展示出这样一些问题：什么样的矛盾可能发生？什么样的不可思议之事是有可能发生的？阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（Jorge Luis Borges，1899~1986）在他的短篇小说中揭示了大量此类问题，他的著作对于所有悖论爱好者都是有吸引力的。在《特兰，乌克巴，奥尔比斯·特尔提乌斯》[4]中，博格斯描述了一部百科全书，此书是一群学者精心炮制的恶作剧，却被当成来自另一个世界的著作。这些学者甚至设计了那个虚构世界中的悖论，但是在其他世界的人看来，特兰人的悖论不过是平淡无奇的事情。特兰人最伟大的悖论是“九枚铜币”：
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星期二，当走过一条荒芜的路时，他丢失了九枚铜币。星期四，y在这条路上找到了四枚铜币，因为星期三下雨了，铜币有些生锈。星期五，Z又在这条路上找到了三枚。星期五上午，在他家的走廊里找到了两枚……特兰人的语言无法明确地表达这个悖论，大多数人甚至无法理解其中有何矛盾。最初，常识的捍卫者为了反驳这个悖论，只是简单地否认这个故事发生的可能性。他们强调，这只是一个语言上的错误，根源在于错误地使用了两个动词：“找到”和“丢失”。这是两个未经实际使用检验的新词，但是这个悖论仓促地应用了这两个词，而任何严格的考察都反对应用这两个词。这两个词造成了混乱，因为“找到”和“丢失”预先假定了最初丢失的九枚铜币就是最终找到的九枚铜币。他们援引“所有名词（人，硬币，星期四，星期三，雨）都仅仅符合比喻性的用法”这一原则，驳斥了“因为星期三下雨了，铜币有些生锈”这个离经叛道的陈述，因为这个陈述依赖于一个预先假设：在星期二和星期四之间这四枚铜币是持续存在的，但是这个预设本身恰好就是这个论证想要证明的。他们解释说，数量“等同”不等于东西本身“相同”，并且设计了一个归谬推理加以阐述：假如有九个人，在连续几个晚上他们都感到强烈的疼痛，如果我们说疼痛只有一个、是相同的，那岂不荒谬？……令人感到不可思议的是，以上反驳竟然不是终极判决……
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在特兰人的思想中，“九枚铜币”是真正的悖论，无法彻底消解。一个有趣的设想是，也许在另一个世界的居民看来，我们的悖论也是平庸陈腐的事实。那么，悖论究竟存在于“我们的头脑中”，还是建构于统一的逻辑结构中呢？
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科学是外部世界的一幅地图
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本书讨论与知识有关的悖论，这些悖论展示了我们以何种方式认识事物。乍看起来，“认识这个宇宙是什么样子的”这个目标是不可能实现的。彭菲尔德的实验表明，每个记忆对应着大脑中处于特定的物理位置的痕迹。我们知道疯马酋长[5]、霜冻和塔斯马尼亚岛，这就意味着在我们的大脑中有某些部位对应着疯马酋长、霜冻和塔斯马尼亚岛。也许这些位置是不固定的，也许这些位置有重叠部分，也许存储和唤醒记忆的机理的复杂程度远远超过我们今日的想象，但无论如何，记忆痕迹所占据的位置不是无穷小的。你心中的疯马酋长的图像占据了大脑存储容量的一部分，这部分存储空间在同一时间内不能保存任何其他东西。
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有些人可能天真地认为，大脑内部保存着外部世界中的事物的成比例模型，显然，这些模型必须放弃大量的细节。事实上，宇宙比人的头脑大太多，大脑没有足够的容量盛放关于宇宙的所有知识。大脑无法保存关于世界的所有事物的图像。
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但是，既然我们的大脑可以正常工作，这表明大脑是在有选择地存储信息。为了对抗世界的复杂性，最基本的工具就是概括，我们的大脑会在很多层次上进行概括。科学是一种自觉的、系统化的、以概括为基础的简化手段，通过这种手段，巨大而辽阔的外部世界被打包进我们微小的大脑。
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科学是一种记忆方法。我们无须记住每一只苹果从树上落下来的情形，我们只需记住引力。科学是外部世界的一幅地图。像所有地图一样，它也忽略了细节。在交通图上，小镇、树木、房屋、岩石等被删掉，为公路、海岸线、国界以及其他对于地图使用者更有价值的信息留出位置。科学家也需要做出类似的判断。
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科学绝不仅仅是各种零散信息的简单汇集。它不但包括搜集信息，而且包括对信息的理解。至于什么是“理解”，令人惊讶的是，这个哲学性的问题有一个简单却相当确切的答案。
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悖论与可满足性
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在面对一个未知对象时，画出其界限通常比描述它更容易。比如，托马斯·杰斐逊不知道路易斯安那地区具体有什么，只知道它的边界。在描述“理解一段信息”是什么含义时，使用同样的方法也更方便。
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在最低限度上，“理解”必须得保证有能力发现内部矛盾（即悖论）。如果你无法辨别一组命题内部是否自相矛盾，那么你就没有真正理解它们，即你还没有想透。想象一下这个场景：一个挑剔的老师在课堂上陈述了一个矛盾，然后试探一个溜号的学生的反应：
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“不是这样吗，米里亚姆？”
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“嗯……是这样，老师。”
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“我明白了，某人显然对我说的话只字未听。”
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发现矛盾并不意味着理解的全部，“理解”很可能包含更多的内容。然而，发现矛盾一定是一个必要前提。悖论的发明者就是通过揭示一组预设中的内在矛盾来提醒我们，我们并不是像我们以为的那样来理解这些预设。
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在逻辑学中，发现悖论的问题在理论上被称为“可满足性”（SatisfiabiLity，此问题及相关的逻辑问题经常用大写字母表示）。若给定一组前提，可满足性要讨论的是：“这些命题是否必然导致矛盾？”另一种表述是：“是否存在一个可能世界，使得所有这些前提都为真？”
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可满足性讨论的是逻辑领域的抽象概念，不必涉及真实世界中的真理。比如以下两个命题：
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