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1.所有的牛都是紫色的。
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2.西班牙国王是一头牛。
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我们的自然反应是，这两个命题都是假的。但是，假并不等于悖论。至少我们可以想象有一个世界，在那个世界里，这两个命题都是真的。如果一组命题在某个可能世界中为真，即使这个可能世界不是我们所处的世界，逻辑学家也会称这组命题为可满足的。
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下面的例子则不同：
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1.所有的牛都是紫色的。
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2.西班牙国王是一头牛。
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3.西班牙国王是绿色的。
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没有哪个可能世界可以同时满足这三个命题（假定紫和绿之类的颜色相互排斥）。这里出现了一个悖论，因此，我们称此命题集合为不可满足的。
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需要注意的是，这里的矛盾不是由某一个单独的命题造成的。我们可以在三个命题中去掉任何一个，剩下的命题则是可能同时实现的。悖论是由三个命题相互作用产生的。
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这种奇异之处具有不可思议的重要性。由于悖论不能归结于某个局部问题，所以可满足性问题通常是极其困难的。实际上，此问题以困难著称，甚至被作为困难的典范。其困难之处在于，随着前提数目的增加，为检查前提内部是否包含矛盾所需的时间会以惊人的速度增加。增加的速度如此迅速，以至于许多包含100个（或更多）前提的可满足性问题从实际应用角度看是不可解的。即使把这些问题交给现有的运算速度最快的计算机，从实际角度看，要花费的时间也相当于无限长。
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我们可以把悖论当作一个隐喻，一种揭示理解的限度的方法。科学试图用简单的概括来解释形形色色的事实。面对一组知识或观念时，如果我们甚至无法发现其中包含的尖锐矛盾，那么我们其实根本不能理解它们。可满足性问题的难度是一个粗略的指示，它揭示了把经验信息“压缩”进概括之中是多么困难。可满足性为获取信息并从中推出结论的难度设置了一个大致的限度。
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普遍性问题
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20世纪70年代初，数理逻辑领域诞生了一个非同寻常的发现。计算机科学家斯蒂芬·库克（Stephen Cook）和理查德·卡普（Richard Karp）的两篇开创性论文表明，许多类型各异的抽象的逻辑问题其实是同一个问题伪装成了不同形式。这些问题都等价于可满足性问题，即识别悖论的问题。
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与可满足性问题等价的这一类问题被称为“NP完全问题”（如果读者现在不理解这个名称的含义，先别着急）。NP完全问题的一个惊人之处在于，这些问题表面看来各不相关。理查德·卡普的论文列出了21个NP完全问题，其中包括“旅行推销员”问题（一个古老的数学谜题）、“哈密顿回路”问题（此问题起源于一种流行于19世纪的智力玩具，该玩具可被视为魔方的前身）。若干年来，已知属于NP完全问题家族的问题列表已经膨胀得相当惊人了。
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走迷宫、解密码以及设计填字游戏，这些问题都属于NP完全问题。许多经典的逻辑谜题和智力题都可以概括为NP完全问题。近年来的谜题作家马丁·加德纳（Martin Gardner）和雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan），以及更早的萨姆·劳埃德（Sam Lloyd）、刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）、亨利·欧内斯特·杜登尼（Henry Ernest Dudeney）[6]，还有许多知名或无名的作者，他们的趣味逻辑问题通常都属于此类。这些形态各异的问题在本质上是同一的，这是一个非常令人意外的结论。即使我们把库克和卡普的这个发现与“所有物体均由原子构成”的发现相提并论，也不算夸张得太离谱。世界上有许多智力难题，其意义深远重大，可看起来又比较琐碎，其实这些问题包含相同的内核。NP完全问题是一个宇宙之谜，当我们以有限的心灵面对复杂度成指数增长的辽阔宇宙时，世界的不可思议便通过NP完全问题得到了充分的展示。
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当逻辑学家说所有的NP完全问题本质上是一个问题时，他们的意思是说，如果找到了可解决任一NP完全问题的有效通解，则对此通解进行某种方式的变换就可以解决所有其他问题。面对整个NP完全问题家族，一旦解决了其中一个，所有的问题都会迎刃而解。
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我们似乎发现，世界上所有著名的宝库均可用同一把钥匙打开——如果有这样一把万能钥匙的话。是否存在某些（或全部）NP完全问题的有效解？今天这仍是数理逻辑中最深奥的未解之谜之一。
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悖论的深刻性和普遍性超出了前人的想象。悖论不是一个怪胎，而是科学哲学的一根支柱。悖论问题既引人入胜，又令人魂牵梦绕。眼见逻辑推理像纸壳搭的房子一样崩塌，会令人有一种颠覆的快感。从某种意义上说，所有证实理论和认识论领域内的著名悖论都是智力游戏的产物。在其他领域，非专业的爱好者几乎不可能获得品味和把玩其中真义的机会。我们如何知道归纳和演绎、模糊性和确定性之间的交互作用？这是后文将介绍的悖论的主题。
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[1]塞缪尔·泰勒·柯尔律治（Samuel taylor Coleridge）的杰作《忽必烈汗》是在梦中诞生的。柯尔律治在研读忽必烈大帝的历史时睡着了，做了一个梦。令人震惊的是，梦境异常清晰：他梦到了一首300行的诗。醒来后，柯尔律治爬起来，想趁着还有印象时，把诗记录下来。他记下了大约50行——这就是我们所知的《忽必烈汗》，可是他被一个来访者打断了。以后，其余的250行他只能记起只言片语。然而，柯尔律治在现实生活里就是一个诗人。我向大家推荐的这种鉴定方法只适用于那些没有做过打油诗的人。此外，柯尔律治的故事也许不足为例，因为此人曾服用鸦片当安眠药。
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[2]这是一首典型的打油诗。作者把它放在这儿，意思是说：如果你想确证自己是清醒的，这首诗就足够了。这首诗你写不出来，所以它一定是外部世界的一部分，而非梦境的一部分。——译者注
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[3]此处不甚准确，柏拉图著作中的某些言论确实出自苏格拉底本人。——译者注
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[4]原名为Tlon, Uqbar, Orbis Tertius，前两个词是虚构的地名，音译为“特兰”和“乌克巴”，后两个词是拉丁语。这是一个精妙的短篇故事，介绍了特兰——一个虚构世界——中的思想状态。特兰人视唯物主义为荒诞的异端邪说，而一个天才的邪教领袖发明了“九枚铜币”悖论论证物质的存在，下面的引文介绍这个悖论以及正统的特兰理论家对悖论的反驳。——译者注
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[5]疯马酋长（Chief Crazy Horse）是印第安人部落中的著名勇士、部落领袖和英雄，美国儿童喜爱的电动转马也以疯马命名。——译者注
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[6]此处列举的几个人物均为著名的畅销书作家，以善于设计奇诡、精妙而和谐的智力趣题著称。他们的许多佳作已有汉译本。——译者注
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