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在最古老的关于无限的悖论中，有一些归功于埃利亚的芝诺（生活于公元前5世纪）。芝诺在一本书中（大约写于公元前460年左右）记录了他的悖论，此书已失传。芝诺好辩，乐于证明时间、运动以及其他我们习以为常的东西并不存在。他最著名的悖论是这样的：善跑的阿基里斯与乌龟赛跑。乌龟在阿基里斯前面起跑，比方说，领先1米。为了追上乌龟，阿基里斯必须先跑到乌龟的出发点。当他到达这个位置时，乌龟已经往前跑了一段较短的距离——10厘米。现在阿基里斯必须再跑10厘米才能追上乌龟，但是与此同时，乌龟又往前跑了1厘米。以上分析过程可以无穷延续，乌龟领先阿基里斯的距离会越来越短，但是阿基里斯永远也追不上乌龟。
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芝诺否认无穷数列和无穷量的真实性。他认为，如果你可以表明某个东西涉及无穷，你就可以证明这个东西是不存在的。在现代人看来，芝诺的某些论证缺乏说服力。芝诺的表现就像是一个永远拒绝无穷级数的顽固、古怪的数学家。阿基里斯必须跑的距离构成了一个无穷级数，加起来等于111.111……厘米（即111又1/9厘米）[2]，这是一个有限数。所谓的“无限”只是芝诺分析的结果，并非物理意义上的无限。
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在芝诺发明的悖论中，“飞矢不动”悖论更令人困惑。一支箭在空中飞过。在时间历程中的任意一个瞬间，这支箭是静止的。在这个瞬间，箭就像处于一张静止的照片中，或者说，就像是从拍摄飞箭的电影中截出的一个孤立的画面。时间是由无穷多个这样的瞬间构成的，既然在每个瞬间箭都是纹丝不动的，箭的运动又何在？
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飞矢不动悖论值得深入思考。我们把这个问题移植到现代语境中。假设有一支箭，它是由原子构成的。它在相对论情境下的时空中运动，我们在一个惯性参照系中对它进行测量。在这种表述中，我们以日常含义使用“时间中的一个瞬间”这个词组，和芝诺一样。我们依然接受因果关系：将来是由现在决定的，而现在是由过去决定的。（除了在量子层次上——我们可以暂且忽略这种考虑吧？）在完全静止的一个瞬间，一支飞行的箭与一支静止的箭有何不同？看来这支运动的箭上一定附着了一些信息以区别于静止的箭。否则，它怎么“知道”在下一个瞬间会疾射向前？
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就本书的讨论范围而言，我们更关注当代人的“无限机器”悖论。这些悖论是在芝诺的启发下诞生的。他们质疑的是知识，而非运动学。关于无穷级数的现代理论无助于解答这些问题。每台机器的操作都属于超级任务，其动作涉及无限。然而，这些动作可以被清晰地描述——尽管完成动作本身也许是不可能的。在每个例子中，超级任务允诺我们瞥一眼不可知的事物——例如希腊神话中的美杜莎。[3]
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注重实际的人也许会对无穷机器的想法表示质疑。关于超级任务的哲学讨论就好比医生为一种并不存在的疾病寻找疗法。然而，超级任务可以和真实世界中的某些过程类比。这些问题表现出来的奇特状态只有通过由一系列离散的动作组成的无穷（或接近无穷）的序列才能得到解答，这是值得研究的。
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推理的迷宫：悖论、谜题及知识的脆弱性 [:1701739716]
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造一盏汤姆森灯
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关于无穷机器的某些讨论关注操作细节。虽然机器的实用性似乎与讨论无关，但是略微分析一下细节也许有助于发现其中的逻辑困难。阿道夫·格林鲍姆（Adolf Grünbaum）分析了这三台机器。
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针对汤姆森灯的一种反对观点是，电灯泡不可能无限且迅速地被打开、熄灭。在操作过程中的一个过去的确定时刻，当电流接通时灯丝没有足够的时间完全被加热，而当电流断开时灯丝没有足够的时间冷却。在最后阶段，灯丝可能始终处于半明半暗的状态。
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此外，每个人都知道，连续开关电灯泡很容易把灯泡烧坏。汤姆森灯的灯泡一定会烧坏。
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阿道夫·格林鲍姆认为，这些讨论都没说到点子上。问题的关键是，在这1分钟结束时，灯泡是亮的还是灭的？即使灯泡烧坏了也不要紧，在这1分钟过后，我们总可以卸下坏灯泡，拧上一个新的，看看它亮不亮。
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真正的问题在于开关。汤姆森灯的开关按钮在每一次打开或关闭时，显然要经过一段距离。因此，按钮必须在有限的时间内经过无限的距离。一个物理上的限制足以提出反驳：在这1分钟接近结束时，按钮的运动速度一定会超过光速，而这是不可能的。
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按钮将往复运动无限距离的这个问题并不重要——实际上，按钮不需要走这么远。格林鲍姆和艾伦·贾尼斯（Allen Janis）做了一点改进，得到了升级版的汤姆森灯。改进之后的情况更有道理。
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把按钮画成一个垂直的圆柱，其底部是导电的。当按钮被完全摁下时，圆柱的底部接触电路的两个裸露电极，电流流过圆柱底部，点亮灯泡。
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每当灯应当点亮时，按钮接在连通的电路上；每当灯应当熄灭时，按钮以恒定的速度沿上下方向做一个短程运动。每一次按钮弹起的距离仅限于时间允许的范围内，而运动速度是固定的。
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在最初的30秒中，按钮压在电极上，灯泡是亮的。再过15秒，灯泡关闭。按钮先用7.5秒向上弹起，又用7.5秒回落。然后，按钮在电路上停留7.5秒，这段时间电路接通，灯泡又亮了。再往后，按钮用1.875秒向上弹起，用1.875秒回落，灯泡保持熄灭3.75秒。
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按钮起落无穷多次，但是每一次移动的距离都是上一次的1/4，就像是一只弹性不大好的球。在整个操作中，按钮移动的总距离同总时间一样，是个有限数。移动速度是常数，比光速小得多。
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遗憾的是，格林鲍姆和贾尼斯的改进还是不能彻底挽救汤姆森灯。按钮在往复运动的过程中需要加速和减速，而加速度会超过任意的固定值。看起来，无限大的加速度毕竟比无限大的速度容易接受，但是……任何物理对象都只能承受一定限度内的加速度。在某一时刻，加速度肯定会摧毁按钮，其效果就和用锤子砸碎的效果一样。
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改进版的汤姆森灯有一个更严重的问题：在1分钟之后灯是开是灭已经不是问题。在操作过程中，按钮的底部与电路之间的距离越来越小，最终恰好停在电路项上。（就好像一只球在地板上蹦，最终落在地板上。）改进版的汤姆森灯在操作结束时一定是亮的。修改开关的结构就会导致这种令人不满的结果。这个改进版的汤姆森灯与原来的汤姆森灯有关系吗？——确实成问题。
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在设计圆周率机和皮亚诺机时也会遇到一些问题，有的与上面的问题类似，有的则不是。［顺便说一句，皮亚诺机的名字是格林鲍姆起的，是为了纪念意大利数论家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）。］圆周率机的问题是，计算圆周率的数字的过程怎么可能这么快。下文将提到，计算速度如同运动速度一样，是有上限的。在数字向窗口中弹出的过程中，为了避免运动速度达到无限，运动的距离必须递减。最终，我们将无法判断正在显示的是哪个数字。圆周率机可以换一种显示模式，每个数字被打印出来，数字的字体表现为超现实主义风格：每个数字的高度是上一个数字的一半。全部计算结果可为一张索引卡片所容纳。但是有一个问题：即使用最强大的电子显微镜也看不出最后一位数字是几。
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皮亚诺机有一个独特的问题：数字的读法越来越复杂。干净利落地读出一个100位的数也要花很长时间。贾尼斯建议不采用日常语言的读法。他的方案是，设计一个编码方法，让每一个数对应一个频率确定的音调，然后用哨音把数字“吹”出来。
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发出一个声音需要消耗多少能量取决于频率（音调）和振幅（音量）。为了避免能量需求达到无穷大，随着频率的增加，振幅必须减小。在这1分钟的最后一瞬，机械嘴的音量将下降到0。你无法听到最后的哨音——即使你的耳朵有能力捕捉音调无限高的声音。
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请注意：如果试图以更具物理上的可实现性的方式设计三种无限机器中的任何一种，都会导致一个结论——最后的结果是不可见的（或不可闻的）。许多哲学家认为，在涉及无限机器、超级任务以及只有通过超级任务才能了解的事实时，总是有些可疑的东西。
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