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情形——这些豆子来自这个袋子；
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∴否定规则——袋子里可能很少一部分豆子是白色的。
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这就是归纳推理。
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因此，综合推理和演绎推理之间的这种关系不是没有意义的。我们采取一种假设，不仅是因为它能解释已观察到的事实，还因为与之相反的假设能解释与已观察到的事实相反的事实。我们得出归纳结论，也不仅是因为它能解释这一样本的特征分布，还因为如果是另一种规则的话，样本就不会是现在的样子。
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但是，这种考虑问题的方式的优势很容易被高估。归纳就是以规则为对象的推论。将归纳认为是对某条规则的否定，这是一种人为的规定；这种规定之所以可以被接受，是因为当我们把关于数值或比例的命题视为规则时，这条规则的否定也同样是规则。接着来看，假设就是把某个情形归入某个类下，而非把这个情形归入这个类的对立面之下；除非我们这样来看，即如果否认把这个情形归入这个类下，那么就以为要把这个情形归入另一个类下。
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Bocardo可能被认为是一个归纳推理，它得出的结论非常模糊，以至于很难看得出其扩增的性质。以诺和以利亚是某一类人的样本，这一类人都有不死的特性。但是，我们没有大胆地得出结论说所有虔诚的人或者敬奉上帝的人都是不死的。我们没有具体描述这类人，而只是得出了一个解释性的推论，也就是一些人是不死的。Baroco也是一种很保守的假设：以诺和以利亚是不死的。我们或许可以更大胆一些，假设他们是神衹或者类似的存在。但是就目前而言，还是局限于一个较保守的假设较好：他们拥有某些不同于人类的性质。
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但是，毕竟Baroco、Bocardo与Barbara之间有巨大的差异，即归纳、假设与演绎之间有巨大的差异。Baroco和Bocardo基于这样的事实：如果结论的真实性必然源自前提的真实性，那么前提的不正确就是源自结论的不正确。这个事实总是正确的。但是，当归纳只是一种可能的话，情况就不同了。无论怎样都不可能得出这种说法：某个前提的真实性可能推断出某个结论的真实性，因此结论的不正确就可能会导致前提的不正确。至少，就如我们前面的论文中看到的那样，只有当“可能”这个词在前提和结论中的意思不一样时，这种说法才可能是正确的。
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三
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现在，一张破碎的纸上有某个未署名的作者写的文字。我们怀疑作者是某个人。他的桌子只有他自己使用。我们检查之后发现他的桌子上有一张同样破碎的纸，其撕裂边缘的形状与之前发现的纸完全相符。我们说这个人就是前面那张纸的作者，这就是一个假设推理。这个推理的依据显然在于，两张破碎的纸可以完全拼在一起绝不会是巧合。有许多推理都是这种类型的。但是有一小部分也可能是不可靠的。假设和归纳非常相似，有许多逻辑学家混淆了二者。假设被认为是对特点的归纳。我们在某物上发现了某个类的一些特点，于是我们推断该物拥有该类的所有特点。这与归纳推理遵循着同样的原则，但是表现形式不同。首先，特点不像物体那样可以简单罗列；其次，特点按照不同类别分类。当我们遇到纸张那类假设推理时，我们只检查一种或两到三种特点，而不是把所有其他样本都包括进来。如果假设和归纳是一回事，那么我们在上述的例子中，唯一要在结论中证明的就是，这两张通过观察发现撕裂形状完全相合的纸也可以与其他撕裂的纸张相合，只不过撕裂形状的相合度要低一些。从纸张形状到纸张归属的推理正是假设与归纳不同的地方，并且比归纳推理更大胆、更冒险。
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这里同样需要注意的是，归纳推理是在自然的统一性原则基础上得来，而假设推理则不是这样。这种说法不仅没有解释推理方法的合理性，而且会导致错误的推理方法。毫无疑问，自然中确实存在某种统一性，它会大大提高假设推理的效力。比如说，我们认为太阳中存在铁、钛和其他金属元素，因为我们在太阳光谱中发现了许多射线，这些射线都与上述金属元素发出的射线一致；并且我们知道，不同元素的射线之间存在着显著的差异，于是这个假设推理得到加强。但是这是演绎性的，即便没有这条附加的信息，假设本身依然可能成立。
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实用逻辑学中有一个最常见也是最严重的错误：发现两个东西在某些方面相似，就想当然地以为它们在其他方面同样相似。证明这种观念的谬误需要严格的论证，但是过程相当繁复（要用到各种字母、符号等），读者大概不会很感兴趣，所以这里就省略了。然而，有一个例子或可证明这一观点：比较神话学致力于在各种传说故事中寻找太阳活动与英雄经历之间的相似点；基于这些相似点，他们推测这些英雄是太阳人格化的产物。对于我来说，他们的论证过程非常不清晰。有一位非常有才华的逻辑学家，为了证明这种推测多么无用，专门写了一本小册子，并用同样的方式“证明”了拿破仑·波拿巴是太阳人格化的产物。他列举的无数个相似点读起来真是精彩绝伦。事实上，如果隐藏的相似点也算在内的话，任意两个事物之间都能找出相似的地方。但是为了让假设得出可靠的结果，我们必须要遵循以下规则。
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1.假设必须清楚地以疑问的形式提出，然后再进行观察和检验。换句话说，假设必须提出可以检验的预测。
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2.记录相似点时必须随机选取样本，而不能专门去检验假说中已知成立的预测。
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3.不管推测的结果是正确的还是错误的，都要记录下来。整个过程必须是不偏不倚的。
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有些人毫无根据地认为，正面或反面的偏误对发现真相是有利的——激烈的、有所偏袒的论辩是调查的唯一方法。这就是我们粗暴的法律程序所秉持的理论。但是，逻辑学并不认同这种说法。它无可辩驳地证明了只有真正渴望知识才能促进知识的发展，固执己见、滥用职权，以及所有试图得到意料之中的结论的方法，都是毫无意义的。这些都已经得到了证实。如果一种说法没有提出证据，或者读者没有自己做过验证，那么读者可以肯定它，也可以否定它，都没有关系。于是，只要读者愿意，他大可以对几何学发表任何看法。换句话说，如果他阅读欧氏几何只是为了好玩，自然不妨跳过那些烦琐的步骤。原因在于，如果他认真地去读这些晦涩的论证，他就会发现自己再也不能对几何学“自由”地发表自己所谓的见解了。
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有多少人可以扪心自问：“我真的不仅要知其然，更要知其所以然吗？”
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目前为止，归纳和假设的最基本原则都已经讲完了。还有许多其他准则是为了让综合推理的论证更加有力而设计的，这些准则同样极其重要，不应该被忽视。密尔的“实验四法”就是一例。不过，即便我们完全不了解这些附加的原则，归纳和假设仍然可能发挥奇效，有时也确实发挥了奇效。
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四
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不管在哪里，完美的分类法是不存在的。即使是在拥有巨大差异的解释性和扩充性推理中，也能找到处于两者边界上的例子，这些例子同时具有两类推理的某些特征。归纳和假设之间也是这样。总的来说，这种差异巨大而明确。通过归纳，我们得出结论，观察到的事实在没有检验过的案例中同样适用，这些事实与观察到的事实一样正确。通过假设，我们根据已知的法则，得出某些观察到的事实必然会导致另一些事实，而后一类事实与我们所观察到的任何事实都截然不同。前者是从特例到一般法则的推论，后者则是从结果到原因的推论。前者是归类，后者是解释。只有在一些特殊的案例中，我们才会一时间搞不清楚给定的推理属于哪种类别。一个这样的特例就是，我们不是在相似的情形下观察相似的事实，而是在不同的情形下观察不同的事实——然而，事实上的差别与情形上的差别存在着确定的关系。这种推理实际上是归纳，但它们有时非常明显地表现出与假设的相似之处。
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我们知道水遇热会膨胀，于是观察了不同温度下恒定质量水的体积。做了几次观察后，我们推导出一个代数公式来表示出体积和温度的关系。举例来说，如果v 代表相对体积，t 代表温度，关系公式是：
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v =1+at +bt2 +ct3
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通过随机代入其他温度来验证，这个公式得到了确认；我们得出了归纳结论，即我们抽取温度样本范围内的所有观测都适用此公式。只要确定了这个公式是可用的，那么得出a、b、c的数值就只是算术问题了，它就是最贴合当前观测的公式。物理学家称这种公式为“经验公式”，因为它是仅仅依靠归纳得出的，没有任何假设对其进行解释。
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这种公式虽然对概括观察结果非常有用，但是对于科学发现却没有太大的作用。它所体现出的归纳，即遇热膨胀（或其他任何相关现象）是以渐进的方式发生的，并非突然的飞跃或是大幅度的波动，这种归纳虽然非常重要，却不会引起关注，因为这是我们意料之中的事。但是，它的缺陷是非常严重的。首先，只要观察可能存在误差——所有观察都免不了误差——那么公式就与事实不是完全准确的对应关系。问题还不仅在于观察误差，公式本身也可能存在问题，因为公式就是从错误的观察中推导而来的。另外，即使公式没有出错，我们也不能认为真实情况就可以通过这样一个公式表达出来。它们可能还可以通过相似的其他公式表达出来，只不过这些公式拥有无穷多的项数。但是，既然这些公式要写下无穷多的系数，那么对我们还能有什么作用呢？当一个量随着另一个量改变时，如果已知相对应的数值，那么只需要数学上的创造力来找到表达它们关系的简单方法即可。如果某个量是某个种类——比如比重，另一个量是另一个种类——比如温度，那么两者关系的表达式就必然存在常数。原因是这样的，比方说，我们现在研究的是比重和温度，比重用纯水密度的倍数来表达，温度用摄氏度来表达，并且公式里面没有常数，那么只要单位换了，公式的系数就会发生改变。但是，我们希望得到的公式不应该随着单位的变化而变化。
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