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我们已经知道毕达哥拉斯是怎样从调和弦的发现中提出和谐原则的。在这个基础上，他还提出了健康就是对立面之间的某种平衡的医学理论。后期毕达哥拉斯学派进一步发展了这一理论，并将和谐概念应用于灵魂，按照这种观点，灵魂是肉体的一种和谐。这样，灵魂就成了肉体有序状态下才具有的一种功能。如果肉体组织坏掉，肉体分解，灵魂也就随之消失。我们可以把灵魂看做某件乐器上张开的弦，将肉体看做安装弦的骨架。如果骨架遭到破坏，那么弦就会松弛，失去和谐。这种观点和早期毕达哥拉斯学派在这个问题上的概念有所不同：毕达哥拉斯似乎相信灵魂的轮回，而其后来的信徒们却认为灵魂必会像肉体一样消亡。
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在天文学方面，后期毕达哥拉斯学派提出了一个十分大胆的假说。根据这个假说，世界的中心不是地球，而是一团作为中心的火，地球是围绕这团火转的一颗行星。不过我们看不见这团火，因为我们所处的地球这一面始终背向该中心。他们认为太阳也是一颗行星，它的光芒是对中心火的反射。这个假说向着后来亚里斯塔克提出的“日心说”迈进了一大步。但是，毕达哥拉斯学派提出的理论在形式上却存在着如此多的难点，以至于亚里士多德又重新坚持地球是平面的观点。由于亚里士多德在其他问题上的权威，这个观点竟然取代了正确的观点，在后来的时代里盛行，而该理论的来源却被人们遗忘了。
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在事物构成理论的发展上，毕达哥拉斯看到了许多早期思想家所忽视或误解的一个特征，那就是虚空的概念。如果没有虚空，则不可能对运动做出满意的解释。在这方面，后来的亚里士多德再一次退步，他认为“自然憎恨虚空”。而原子论者则认为，我们必须寻找物理学理论发展的真实脉络。
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◎完美的三角形是画不出来的，只能用心灵的眼睛才能看到。
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同时，毕达哥拉斯学派试图吸收恩培多克勒所取得的成就。当然，他们的数学观不允许他们把这些元素当做终极元素。于是他们达成了一种妥协，这就奠定了物质构成的数学理论基础。现在，他们认为元素是由规则的、立体状的粒子构成的。在柏拉图的《泰缪斯篇》中，这一理论得到了进一步的发展。“元素”一词本身很可能就是由后期毕达哥拉斯学派的思想家们创造出来的。
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在这方面，任何一位唯物主义者也不曾对巴门尼德的批判做出过完全令人满意的应战努力。不管爱利亚学说本身有什么样的缺陷，事实依然存在着，仅仅增加基本物质的种类是无法找到解决办法的。巴门尼德的信徒们提出的一系列论据，强有力地说明了这一点。他们中最重要的一位哲学家就是爱利亚的芝诺，他大约生于公元前490年，是巴门尼德的同乡和追随者。我们除了知道他对政治感兴趣，还知道一个重要的事实，就是他和巴门尼德曾经在雅典会晤过苏格拉底。这是柏拉图说的，我们没有理由怀疑他。
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前面已经说过，爱利亚学说产生了一个令人吃惊的结论，因而很多人都在试图弥补这种唯物论。芝诺试图论证，如果爱利亚学说都违背了常理的话，那么其他声称能够打破这一僵局的理论只能产生更加奇怪的难题。芝诺没有直接为巴门尼德辩护，而是使对手陷入自相矛盾的境地。他从对手的假设入手，运用演绎论证法来证明对手的假设里包含了不可能的结论，从而表明这样的假设无法成立，在事实上予以推翻。
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这种论证法和我们讨论阿那克西曼德的进化论时提到的归谬法很相似，但有一个重要的不同。一般归谬法会这样论证：既然结论在事实上错了，那么必然有一个前提在事实上也错了。
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在另一方面，芝诺试图证明，从一个给定的假设中，人们可以推出两个相互矛盾的结论，也就是说这些结论不仅在事实上不真实，而且也不可能。因而他论证说，产生这种结论的假设本身也是不可能的。这种论证法不用在结论和事实之间作任何比较就可以进行下去。从这个意义说，它在问与答的范围内是纯粹辩证的。芝诺是第一次系统地运用了辩证法的人，而辩证法在哲学中具有非常重要的作用。苏格拉底和柏拉图从爱利亚学说中继承了它，并按各自的方式加以发展。正是从那时起，辩证法在哲学中占据了显著的地位。
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芝诺的论证主要是为了颠覆毕达哥拉斯的单元概念。与此相关的是，他还提出了否定虚空和否定运动可能性的论证。
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我们先看一看他是如何论证单元概念的谬误性的。芝诺说：任何存在的事物必然具有某种量值。如果完全没有量值，它就不可能存在。同样，事物的每一部分也具有一定量值。他还继续提出，这种说法一时或一直都是正确的。这是一种介绍无限可分性的简单办法；不能说任何部分是最小的，否则，事物那么多，这些部分将不得不在同时既是大的又是小的。实际上，它们必须小得没有尺寸，因为无限可分性表明了事物的部分是无限多的，这就要求单元没有量值，因而所有单元的总和也没有量值。但同时，单元又必须有某种量值，因此事物的大也是无限的。
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这个论证很重要，它表明毕达哥拉斯数的理论在几何学中失败了。如果我们在考虑一条线，那么按照毕达哥拉斯的理论，我们应该能说出线里面存在着多少个单元。显然，如果我们用无限可分性来假设，单元理论立即就会瓦解。同时，我们还应该知道很重要的一点，就是它并不是证明了毕达哥拉斯的错误，而是证明了不能同时既接受单元理论又接受无限可分性；换言之，它们是不相容的，必须抛弃其中一个——由于数学需要有无限可分性，所以毕达哥拉斯的单元理论必须抛弃。另一个值得注意的问题就是归谬法本身。一个有意义的单一命题是不会产生不相容的直接结论的，只有当它和别的命题结合在一起时，才可能产生矛盾。这就是说，在两个不同的论证中，当其中一个的附加命题与另一个的附加命题不相容时，矛盾才会产生。现在，我们就有两个论证：第一，事物是很多的，单元没有大小，因而事物没有大小；第二，事物是很多的，单元有大小，因而事物在尺寸上是无限的。两个不相容的附加前提就是：单元没有大小和单元有一定大小。显然，在任何一种解释中，结论都将是荒谬的。因为每个论证的前提都有错误，错的正是毕达哥拉斯的单元理论。
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为了替巴门尼德反对虚空的理论进行辩护，芝诺提出了一个新的论证：如果真的存在空间的话，那它必然包含在什么东西里面；这只能意味着还有更多的空间，由此类推，多到无穷。但是芝诺并不甘愿接受这种“退步”，于是他得出一个结论：不存在空间。这实际上是否定了“空间是一个空容器”的观点。按照芝诺的观点，我们绝不可能把物体和它所处的空间区分开来。显然，容器理论与巴门尼德的球体理论是相抵触的。因为，假设世界是一个有限的球体，那么就意味着它存在于虚空之中。芝诺在此试图维护老师的理论，但令人怀疑的是，当他谈到一个有限的球体时，如果球体之外什么也没有，那他的话是否还有意义呢？
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这种可以一再重复的论证叫“无限回归”，它并不总是引出矛盾的结论，事实上，现在已经没有人反对这样的观点了：任何空间都是更大空间的一部分。对芝诺来说，之所以会出现矛盾，是因为他想当然地认为“存在是有限的”，因此他才会陷入这种“谬误性的无限回归”。
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◎芝诺否认了无限的空间，因为，如果空间包含着地球，那么什么又包含着空间呢？
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实际上，这种谬误性的回归论证就是某种形式的归谬法，它揭示了论证的基础与别的某个真命题是不相容的。
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芝诺最著名的论证就是关于运动的四个悖论，其中最重要的是阿喀琉斯与乌龟的故事。在这里，他再一次间接地为巴门尼德的理论做了辩护。但由于他们自己的理论也无法解释运动，于是他把失败推给了毕达哥拉斯学派，让他们去寻找更好的解决办法。他的论证是这样的：如果阿喀琉斯与乌龟赛跑，那么他永远也不可能超过对手。假设乌龟在跑道上先跑一段距离，那么当阿喀琉斯跑到乌龟的起点时，乌龟将跑到更前面的某个位置；而当阿喀琉斯追到那个新位置时，乌龟又跑到了稍前一点的某个位置。这样，每当阿喀琉斯接近乌龟的前一位置时，这个讨厌的小家伙又已经跑到前面去了。
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当然，阿喀琉斯会离乌龟越来越近，但他永远也不可能超过它。我们应该知道，芝诺的论证是直接针对毕达哥拉斯学派的。因此他利用了该学派的假设，即一条线是由很多单元或点组成的。这就等于说，无论乌龟跑得多慢，它在赛跑前就已经跑了一段无限长的距离。这是另一种论证方式，前提就是事物在尺寸上是无限的。
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尽管我们不难发现这个结论的错误之处，但很显然，作为毕达哥拉斯单元理论的反对意见，他的论证是无懈可击的。我们只有抛弃了单元观点，才能提出一个显示该结论错在哪里的无限级数理论。比如，一个级数里包含了许多个以某个常数递减的项，就像比赛中各连续路程的长度一样，我们可以由此算出阿喀琉斯将在什么地方追上乌龟。我们把这样一个级数之和定义为某个数，无论有多少个项，无论项有多大，它们的总和都绝不会超过级数之和。但是，如果有足够多、足够大的项相加，那么它们的和就会越来越接近级数之和。对一个给定的级数来说，我们无需证明就可以指出，必定有一个，而且只有一个这样的数。赛跑中涉及的这种级数就是几何级数。今天，任何熟悉初级数学的人都能够处理好这个问题。但我们不要忘了，正是由于芝诺的批判性工作，才使充分的连续量理论有了发展的可能；该理论是和数的基础，如今对我们来说却像孩子的游戏一样简单了。
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◎阿苦里斯与乌龟。
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