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悲剧的最终目的就是通过情感的净化来清理灵魂，希腊语“catharsis（感情受艺术的作用而发生的净化）”就是这个意思。正是体验到引起共鸣的恐惧和怜悯情绪后，灵魂才得以从这种负担中解脱，因此，悲剧具有一种治疗性的目的。这一术语是从医学上借用的，亚里士多德观点新颖的地方，就是他提出用疾病本身的一种适当的形式来治疗疾病，就像精神病学的预防接种一样。假如我们想这样来解释悲剧的目的，当然必须先自信地认为这一点是真实的，即所有的人都会受到恐惧、怜悯的纠缠和烦扰。
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亚里士多德继续审查了悲剧作品的各个方面。其中首要的是情节，没有情节就不会有戏剧。直到今天，角色也还是通过情节来实现自我的，角色的地位次于情节，潜在的角色要在情节中才会变得现实。有两类事件尤为重要，一是命运的突然逆转，二是某种意外的、影响情节的新情况。这些事件将压倒一个在任何品德上都不是太出色的人，而他的失败并不是由于其罪恶，而是由于缺乏判断力。他被拉下高位，并因此最终成了众人遗弃的对象。在希腊戏剧中，这样的例子比比皆是。
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谈到角色的处理，亚里士多德首先要求它具有真实的典型性。和情节一样，角色也必须给人以鲜活的印象。在这个意义上，我们必须从另外的角度来理解亚里士多德的论述，即诗歌涉及的是普遍情况，而历史则描写特殊事件。在悲剧中，我们看到了人类生活的普遍特征，这也正是作品的主题。注意到下面这点十分重要：尽管亚里士多德提到过被我们称为“舞台表演”的方面，但他却认为那无关紧要。他几乎把着重点全放在了作品的文学质量上，也许他认为悲剧要像适合于舞台表演一样适合于阅读。
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虽然《诗学》没有提出一套成熟的艺术和美学理论，但它明确地提出了至今还极大地影响着文学评论的诸多标准。首先，他没有谈论剧作家们的情感和动机，而是集中谈论作品本身，这种做法倒是十分可喜的。
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我们已经知道，希腊哲学和理性科学产生于同一个时代。问题的实质是，哲学问题来自科学探索的边缘，这一点对数学来说尤其真实。从毕达哥拉斯时代起，算术和几何就一直在希腊哲学中发挥着重要的作用。有好几个原因可以说明数学为什么在哲学领域特别重要。首先，数学问题明白、简单，这并不是说它总是很容易解决，而是指我们不必从这个意义上来理解它的简单。不过，当我们把数学中的普通问题同别的问题（如生理学）相比较时，前者还是要简单一些。第二，数学已经有了一套既定的论证模式。当然，我们必须记住，肯定有人首先把这种模式找了出来。证明与论证的普遍性正好就是希腊人发现的。证明在数学中所起的作用，比在绝大多数其他科学中更明显，尽管一项数学论证到底做了些什么总是引起争议，并常常被人误解。第三，一项数学论证的结论一旦被正确理解，就不容置疑。对于诸前提已经被接受的任何有效论证的结论来说，这当然是正确的。接受前提是论证程序的一部分，这是数学的一个特征。而在其他领域，由于担心某个前提是错的，人们总是将结论与事实进行比较。在数学中，除了其自身，是没有什么事实需要比较的。由于有了这种确定性，任何时代的哲学家一般都会承认，数学能提供一种优越的知识，这种知识比从其他任何领域获得的知识更为可信。很多人都说过，数学就是知识，他们否认任何其他信息可以被称作知识。如果使用《理想国》中的语言，那么我们就可以说，数学属于形式的范畴，所以它产生知识；而其他领域只是针对特殊问题，所以最多只能产生意见。理念论源自毕达哥拉斯学派的数学，苏格拉底把它扩展到了共相的普遍性理论中，柏拉图则再次将它限定在数学的范围之内。
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公元前4世纪末，数学活动的中心转移到了亚历山大。该城是亚历山大大帝于公元前332年建成的，并且迅速成了地中海最重要的贸易中心之一。它位于通往东方大陆的门户上，为西方文化和巴比伦、波斯文化提供了一个交流的地点。一个庞大的犹太人社团在短时期内出现，并很快被希腊化了。来自希腊的学者在这里建立了一所学校和一座图书馆。这座图书馆在整个古代都非常有名，没有任何其他藏书可与亚历山大的丰富藏书相比。遗憾的是，公元前47年，尤利乌斯·凯撒的军团占领该城时，竟将这个古代科学与哲学的独特宝藏付之一炬，同时，一些古典时期的伟大作家的许多资料也不可挽回地消失了，很多价值稍次的东西无疑也被烧毁了。今天，当某些图书馆被损坏时，历史上这一相似的事件也算给人们提供了一些安慰。
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欧几里德是亚历山大城最著名的数学家，公元前300年，他到处讲学，他的《几何原本》至今仍是希腊科学最伟大的丰碑之一。在书中，他通过演绎的方式整理了当时的几何学知识。虽然其中的很多内容并不是他的发明，但他的功绩在于对问题作了系统的论述。《几何原本》是许多世纪以来，很多人努力追求达到的一个榜样。当斯宾诺莎提出“更加几何化的”伦理学时，正是以欧几里德为榜样的，牛顿的《自然哲学的数学原理》也是如此。
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我们知道，后期毕达哥拉斯学派所涉及的问题之一，就是建立作为连分数序列极限值的无理数。然而，这个问题的一套完整的算术理论从未得到过详尽的阐释，这样一来，用算术术语来解释比例就无法进行下去，因为无法给一个无理数或不可度量的数取一个数的名称。而对长度来说，问题就不一样了。的确，这一困难最初是我们试图用一个数来表示一个等腰直角三角形（其边长为一个单位）的斜边时才发现的。因此正是在几何学中，才形成了一套完整、成熟的比例理论。它的发明者似乎是和柏拉图同时代的尤多克苏斯。但该理论传到今天的书面形式是在欧几里德的《几何原本》中发现的，该书对问题进行了令人赞叹的、清晰又严谨的论述。对算术的最后回归出现在约2000年之后解析几何被发明的时候。当笛卡尔设想可以用代数来处理几何学的时候，他实际上是继续了苏格拉底辩证法的科学理想。为了否定几何学中的特殊假说，他发现了可以作为基础的更普遍的原理。这也正是阿卡德米数学家们所追求的目标，但我们将永远无法知道他们究竟会取得多大程度的成功。
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◎欧几里得所阐释的比例理论
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以现代的眼光来看，欧几里德的《几何原本》是纯粹的数学。在这方面，亚历山大的数学家们遵循了阿卡德米传统，从事数学研究仅仅是出于兴趣。这一点在欧几里德的书中表现得最为突出。在这本书中找不到任何一个提及几何学可能有用的暗示，何况要掌握这样一门科学需要长期的努力。当埃及国王要求欧几里德只用几节课就教会他几何学时，欧几里德作了以下著名的回答：通向数学殿堂的御道是不存在的。不过“数学无用”的想法是错误的。认为数学问题并非总是从实践中来，同样也是错误的。但是，研究某项特殊理论的起源是一回事，根据其自身价值来对待这一理论又是完全不同的另一回事，这两件事常常没有被充分地区别开来。假如因为欧几里德不重视数学导致的社会学，就对他加以指责，这是没有什么意义的，他不过是对此没兴趣罢了。只要他获得了一大堆数学知识（不管怎么获得的），他都会着手整理，并将它们置于严谨的演绎程序之中。这是一种科学实践，其正确性并不取决于国家的状况，事实上也不取决于别的任何东西。这些观点确实同样适用于哲学本身。毫无疑问，由于当时的条件，人们总是关注眼前的问题，而忽视了过去和未来的问题。
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尤多克苏斯的另一个贡献，是发明了所谓的“穷尽法”。计算由曲线圈定的面积时用得着这一程序，它的目标是用一些更简单的图形（其面积更容易求出）来尽可能地填满原空间面积。从原理上说，这正是积分学中出现的情况，因此，“穷尽法”其实就是积分学的先驱。
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阿基米德是运用这种计算方法的最著名的数学家，他不仅在数学领域有非凡的成就，而且还是一位杰出的物理学家和工程师。他住在锡腊库札，普卢塔克说他曾不止一次凭借其技巧，帮助该城阻止了敌军的进攻。但罗马人最终征服了整个西西里和锡腊库札。锡腊库札于公元前212年陷落，阿基米德在洗劫中惨遭杀害。传说他正忙着在自家花园的一块沙地上计算某个几何题时，一个罗马士兵刺死了他。
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阿基米德求抛物线和圆的面积时运用了“穷尽法”。对于抛物线，他用一系列（无限多）逐渐缩小的三角形来和它内接，最终推导出一个精确的数值公式。对于圆，答案就取决于数值，也就是圆周与直径之比。由于它不是一个有理数，所以用“穷尽法”就可以算出其近似值。通过内接和外切正多边形（其边数不断增多），我们可以越来越接近圆周。内接多边形的周长总会小于圆的周长，而外切多边形的周长则总是大于圆的周长。不过随着多边形边数的增加，两者的差值就会越来越小。
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◎阿基米德用“穷尽法”（积分学的先驱）求抛物线的面积
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亚历山大的阿波罗尼是公元前3世纪另一位伟大的数学家，他创造了圆锥曲线理论。在这里，我们又看到了一个推翻特殊假说的明显例子。因为现在看上去，一对直线、一条抛物线、椭圆形、双曲线和圆都是作为同一个东西（即圆锥截面）的特殊形态出现的。
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◎埃拉托色尼发现了地球的周长：从位于天顶的太阳以及同一子午线上任何一点与之形成的角。度得出答案。
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在其他科学领域，希腊最惊人的成就可能在天文学方面。其中某些成就，我们在谈论几位哲学家时已经提到过。这个时期最令人吃惊的成就是日心说理论的发现。萨摩斯的阿里斯塔克（和欧几里得、阿波罗尼同时代）似乎是第一个对此观点进行了完整、详尽解释的人，尽管在公元前4世纪末，阿卡德米也有可能提出过这一观点。但无论如何，阿基米德向我们提供了可靠的证明，阿里斯塔克确实持有这样的理论。我们还发现普卢塔克也提到过它。日心说的主要意思是：地球、行星和其他星星一起围绕太阳运转，而太阳本身则保持固定不动；地球在其轨道上运行的同时还绕着自己的轴心自转。阿卡德米的赫拉克利特早在公元前4世纪就已经知道，地球每天绕着自己的轴心旋转一圈；而黄赤交角则是公元前5世纪发现的，所以，阿里斯塔克的理论绝不是什么全新的发明。但在当时，这种敢于背离常识的做法会招来某些反对，甚至是敌视。应该承认，甚至有一些哲学家也表示反对，不过他们可能主要是从伦理方面考虑的。因为，如果说地球不再是万物的中心，那么原有的道德标准必然会遭到瓦解。斯多葛派的哲学家克雷安德甚至要求希腊人指控阿里斯塔克犯有渎神罪。有时候，关于日月星辰的偏激观点会像政治中的非正统观念一样带来危险。在遭到激烈反对之后，阿里斯塔克再提到自己的见解时，似乎就有些犹豫和胆怯了。在另一个著名的场合，当伽利略赞同哥白尼的理论时，地球运动的观点再次扰乱了宗教感情。我们应该注意到，哥白尼实际上只是复兴或再现了萨摩斯天文学家的理论而已。阿里斯塔克的名字被哥白尼写在了某篇手稿的旁注里，这就证明此事是确凿无疑的，至于太阳系中天体的相对大小和距离，其研究结果并不是同样的成功。对太阳和地球之间距离的估计大约是实际距离的一半；而月亮和地球之间的距离却计算得相当准确；估算出的地球直径则比实际数字小了五十英里，这一功绩应归功于埃拉托色尼，他是亚历山大的一位图书馆专家，也是一位敏锐的科学观察家。为了确定地球的周长，他选择了几乎位于同一子午线上的两个观测点，其中一个是北回归线上的希恩，这里的中午，太阳就位于天空的正上方，太阳的位置是通过它在一口深井中的映象观测到的；另一个点在亚历山大北边四百英里处，它只需确定太阳的角度，通过测量一个方尖塔的最短的影子就能轻易做到。人们从这个结论中要推算出地球的周长和直径并不难。
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这种知识的大部分很快就被人遗忘了，其主要原因是它不符合当时的宗教偏见。这就不难理解为什么连一些哲学家也在这方面犯错误了，因为这种新天文学使斯多葛运动的伦理学说面临着被颠覆的危险。保持中立的观察家倾向于认为，由于新天文学理论证明了斯多葛主义并不是好的学说，所以应当推翻它。但这种理想是无法实现的，那些观点受到批驳的人是不会轻易放弃其立场的。既坚信某种观点，同时又保持超然的态度，这种能力是最为罕见的一种天赋。哲学家和科学家比其他人更为努力地培养自己的这种能力，尽管最终他们并不一定做得比别人更好。这种态度非常适合数学研究，许多大哲学家同时也是数学家，这绝非偶然。关于数学，最后也许还有一点值得强调，除了问题的简单性与结构的明确性，数学还为美的创造提供了一定的范围。
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希腊人的确具有非常敏锐的美学意识。今天所使用的“美学”这一术语是由18世纪的德国哲学家鲍姆加通最先提出来的。不管怎样，当济慈说“真即是美”的时候，他所表达的是一种纯粹的希腊概念。当一位柏拉图派学者考虑某个希腊茶壶的几何比例时，他也许正好会有这样的感受。数学证明本身的结构也是这样。在这一领域中，“典雅”与“节约”等概念都是符合美学原则的。
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