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◎毕达哥拉斯系数：乔治奥在设计中运用了这些比例。
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由于了解了事物中的数字结构，人们就有了征服周围环境的新力量。在某种意义上，它使人更像上帝。毕达哥拉斯派曾认为上帝是至高无上的数学家，如果人能够在一定程度上运用并提高自己的数学技能，那他就更接近于神的地位了。尽管这并不意味着人文主义就不虔诚，或者甚至反对公认的宗教，但它确实表明，流行的宗教习俗很可能被作为例行公事来接受，真正激发思想家想像的则是古代前苏格拉底学说。因此，一种新柏拉图主义的倾向就在哲学领域再次引起了重视。对人的力量的关注，使我们想起雅典鼎盛时期的乐观主义。
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以上就是近代科学得以成长的知识氛围。人们有时候会以为，在17世纪初，科学突然全副武装地闯入了生活，犹如雅典娜从宙斯的头颅里冒了出来。然而事实并不是这样的，科学的复兴直接地、有意识地源自意大利文艺复兴的毕达哥拉斯传统。同样应该强调的是，在这种传统中，艺术家与科学探索者的工作并不是对立的，他们都以各自不同的方式探索真理，并通过数字来掌握真理的实质。对于任何一位不辞辛劳的真理探求者来说，这些数字的模式都是清晰可辨的。这种对世界及其各类问题的新观点与经院哲学的亚里士多德主义截然不同，它是反教条的，因为它并不依赖书本，它惟一依赖的权威就是数字科学。在这方面，它有时候也许走得太远了，像一切别的领域一样，这种过度的危险性必须永远牢记。就拿现在的例子来说，做得过度则可能导致把数字当做魔术符号来依赖的数学神秘主义，这一点和一些别的因素，在以后的世纪里曾使比例理论声名狼藉。另外，人们还感到毕达哥拉斯的音程理论对设计师的发明天赋强加了许多不自然的、沉闷的限制。很显然，这种违背规则的不切实际的副作用，在我们这个时代也完全可能继续发展下去，然后在不久的将来再向着曾经激励过意大利文艺复兴的某些原则回归。
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总体上看，十五、六世纪的哲学本身并不是波澜壮阔的。另一方面，新知识的传播、书籍的发行，首先是毕达哥拉斯和柏拉图传统的重新焕发活力，为17世纪的伟大哲学体系铺平了道路。
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随着古代思维方式的复苏，伟大的科学革命紧接着开始了。它在一定程度上以正统的毕达哥拉斯主义为起点，并逐渐推翻了亚里士多德物理学和天文学的既成概念，最后深入到现象的背后，发现了极其普遍而强有力的各种假说。在所有的领域，精益求精的探索者们都清楚自己直接继承了柏拉图的传统。
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第一位重新提出亚里斯塔克“太阳中心说”的人是哥白尼（1473～1543）。这位波兰教士早年到过意大利，并于1500年在罗马讲授数学。正是在罗马，他接触到了意大利人文主义者的毕达哥拉斯主义。他在意大利的几所大学攻读了几年之后，于1505年回到了波兰，并于1512年重操旧业，在弗劳恩堡大教堂当了一名牧师。他主要做些管理工作，偶尔也给人看看病（他曾在意大利学过医），一有空闲，他就研究天文学。在意大利期间，太阳中心说的假说引起了他的注意，现在，他试图用当时所能搜集到的仪器来证实他的观点。
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他的《天体运行论》完整地记录了这一切，这本书直到他去世以后才得以出版。他所阐述的理论并没有摆脱各种难题，在某些方面还受到了来自毕达哥拉斯的预定概念的支配。行星必须在圆周上匀速运动，这对于哥白尼来说似乎是意料之中的结论，因为圆周是完美的象征，而且只有匀速运动才适合于某个天体。然而，在力所能及的观测范围内，主张圆形轨道的太阳中心说要比托勒密的本轮学说更合理，因为它终究是一个能够单独解释所有现象的简单假说。
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哥白尼的理论遭到了天主教徒和路德派教徒的强烈敌视。因为他们感觉到了这是一场新的反教条运动的开始，虽然不会撼动宗教本身，但它至少会损害到宗教组织所依赖的独裁原则。科学运动的伟大发展之所以主要在一些新教国家出现，是因为这些国家的教会在控制教友的意见方面比较软弱。
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◎哥白尼，教士及天文学家。
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◎哥白尼的宇宙体系
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继哥白尼之后，第谷·布拉埃（1546～1601）继续进行天文学研究。他的主要贡献是提供了广泛而准确的行星运行记录。他还证明了月球以外的空间同样也有变化，并由此对亚里士多德的天文学说提出了质疑。因为1572年发现的一颗新星就没有周日视差，所以它的距离肯定比月球远得多。另外，还可以证明彗星在月球轨道以外的地方运行。
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开普勒（1571～1630）则又向前迈出了一大步，他是在第谷·布拉埃手下工作的一位青年。他通过对观测记录的仔细研究，发现哥白尼的圆形轨道并没有合理地解释现象。他认识到轨道是椭圆形的，而且太阳就位于其中一个焦点上；另外，他还发现在一定的时间内，太阳光的辐射半径每次扫过某颗行星的面积是不变的；最后，所有的行星都具有一个相等的比值，即行星旋转周期的平方与行星和太阳之间平均距离的立方之比。这就是开普勒的三定律，它们确实与毕达哥拉斯主义彻底决裂了，后者曾指导过哥白尼的研究。这样一来，圆周运动之类的肤浅说法显然就要被抛弃掉。在这之前，由于简单的圆周运动显得不够充分，于是自托勒密以后，人们习惯于用本轮运动来合成更为复杂的轨道。这种方法对月球相对太阳的运动作出了近似的解释，但更为细致的观测却表明，复杂的本轮根本不能充分地描述所观测到的轨道，而开普勒的第一定律则一下就解决了这个棘手的难题。同时，他的第二定律表明，行星在自己轨道上的运动不是匀速的，当它们离太阳更近的时候，比在轨道的较远位置运动得要快一些。这一切使人不得不承认，如果不参照事实，光凭美学或神秘原则的想当然来进行论证，是很危险的。另一方面，开普勒的三定律还出色地证明了毕达哥拉斯主义的数学原理。这样一来，似乎的确是现象中的数字结构才提供了理解现象的钥匙。同样，为了合理地解释种种现象，人们就必须寻找那些往往不很明显的关系。正如赫拉克利特所说，宇宙运行所遵从的准则是隐蔽的，探索者要做的就是去发现它们。最重要的是，千万不可为了维护某个表面的原则而歪曲现象。
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◎伽利略，科学家与发明家。
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如果说忽视现象是危险的，那么盲目地记录现象，则像异想天开一样，也是于科学无益的。亚里士多德就是一个典型的例子，因为他正确地说了下面这句话：如果你不继续推动某个物体，那么它就会最终停下来。对于我们能看到的、并且能推动的物体来说，这句话无疑是对的，但如果由此认定我们自己无法推动的星体也一定如此，那就错了，我们会因此认为，它们一定是按照别的方式来运行的。动力学中的一切谬论都是建立在自以为是的表面现象之上的，在这里，正确的分析同样是隐蔽的。在没有受到连续推动的情况下，致使物体速度变慢的原因是阻力，假如没有阻力，物体就会自动地永远运动下去。当然，我们不可能完全消除阻力，但我们可以通过减小阻力来看到，路障清除得越彻底，运动持续时间就越长。最后，当物体不受任何东西的阻碍时，它就会继续运动下去。
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伽利略（1564～1642）系统地阐述了动力学中的这一新假说，他是近代科学的伟大奠基者之一。这个新的动力观点在两方面完全脱离了亚里士多德主义。首先，它假定了物体的第一状态不是静止，而是完全自然的运动。其次，它表明了圆周运动并不像原来一位的那么“自然”，更“自然”的应该是直线运动。“自然”一词在这里具有特殊含义，如果某物体不受任何形式的干扰，那它就会沿着一条直线匀速运动下去。对观测结果缺乏批判性的态度曾经影响了人们正确地理解支配落体的规律，事实上在大气中，如果质量相等，那么密度大的物体要比密度小的物体下落得快一些。在这里，我们必须考虑到物体下落时所受到的介质阻力，介质越稀薄，所有的物体下落的速度就越接近一致，而在真空中则完全一样。对落体的观测表明，物体下落的速度每秒会增加32英尺，因此，由于下落速度不是均匀的，而是加速的，所以一定有什么东西在干预物体的自然运动，这种东西就是地球所施加的重力。
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◎伽利略望眼镜
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这些结论不仅对伽利略的抛射体研究具有重大意义，而且对于其庇护人塔斯卡尼公爵来说，同样具有一些军事上的实用价值。这里有一个明显的例子就首先利用了一项重要的动力学原理。如果我们考虑抛射体的轨迹，就可以把整个运动看做由两部分彼此分离、独立的运动构成，其中一种运动是水平、匀速的，另一种则是垂直的，这种结合的运动路线最终形成了一条抛物线轨迹，这是一个遵循平行四边形加法定律的矢量合成的简单例子。速度、加速度和力都是可以按这种方式来处理的量。
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在天文学方面，伽利略接受了太阳中心说，并且继续有了许多重大发现。他对不久前在荷兰发明的望远镜作了改进，并观测到了大量的事实，这些事实彻底摧毁了亚里士多德错误的天文观念。终于，他发现了银河是由无数星星组成的。哥白尼在其论述中曾经说过，金星肯定会显示出相位（盈亏），现在，这一观点通过伽利略的望远镜得到了证实。望远镜还发现了木星的卫星，并证明了这些卫星正按照开普勒的定律绕着木星运转。这一系列发现推翻了根深蒂固的谬误，并使得正统经院派大肆谴责望远镜，因为它损害了他们原本安稳的教条。有一点是值得我们关注的，那就是三百年后出现了一件非常类似的事情——孔德谴责显微镜破坏了气体定律的简单形式。从这个角度看，实证论者倒是与亚里士多德在物理观测方面的执拗和肤浅有着许多相同之处。
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伽利略必定会冒犯到正统派，这只是一个时间问题。在1616年宗教裁判所的秘密法庭上，他受到了指责。但他似乎毫无妥协之意，于是1633年他再次被强行拉上了法庭，受到了公开审判。为了脱离凶险，他只好当众认错，并承诺从此放弃一切有关地球运行的观点。据说他迫于教廷的命令不得不这样做时，嘴里还在自言自语：“可地球还是在转嘛！”当然，他的公开认错只是表面上的，但宗教裁判所却因此成功地阻挠了意大利的科学探索长达数百年之久。
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