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◎威廉·詹姆士
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在詹姆士看来，“纯粹经验”就是构成万物的要素。在这里，他的实用主义破坏了他的激进经验主义，因为前者否定对人类生活没有实际意义的任何东西，只有形成了部分经验（即他所说的“人的经验”）的东西才是恰当的。和詹姆士同时代的英国人司各脱·席勒对这个问题也持有相似的观点，他称自己的理论为“人本主义”。这一学说的困境就在于它的范围太窄，不能涵盖科学和常识始终视为自身主要任务的东西。探索者必须把自己看做世界的一部分，而世界又总是超出自己的知识范围，否则，追求任何东西都将失去意义。如果我必然会与世界可能表明的任何东西相关联的话，那我什么也不用干就可以坐享其成了。尽管詹姆士正确地批判了旧的精神与物质二元论，但他自己的纯粹经验理论却也不被人认可。
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关于理性主义与经验主义这个普遍性问题，我们必须谈到詹姆士所作的一个著名的区分。根据这一观点，理性主义学说倾向于强调精神，舍弃物质，它具有乐观的特征，追求统一，主张反思，忽视实验。詹姆士把那些接受这种理论的人称为“脱离实际者”；而经验主义理论则倾向于物质世界的探索。它是悲观的，承认世界的分离性，认为实验优于计划（方案），这类观点得到了“讲求实际者”的支持。
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当然，这种区分不能做得太绝对。实用主义学说显然是倾向于“讲求实际者”的。詹姆士在《实用主义》（1907）一文中阐释了他的理论，并指出了它的两面性。一方面，实用主义是一种在态度上等同于经验主义的方法。詹姆士谨慎地认为：作为一种方法，实用主义并不规定任何特殊结果，它仅仅是论述世界的一条途径。这种方法的大致意思是：如果区别不能体现实际的差异，那么这种区别就没有意义。相应的，他还拒绝承认任何一个有争议的问题已经得到了最终的解决。这类观点大多直接来自于皮尔斯，而且还会被任何一位经验主义探索者所接受。如果不涉及任何其他的东西，那么詹姆士说实用主义不过是一些旧思想的新名称而已，这种说法还是十分正确的。
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但是，詹姆士却从这些值得称道的原则中，逐渐陷入了更令人怀疑的理论。实用主义的方法使他认为科学理论是未来的行动工具，而不是“自然”问题的最终合理答案。我们不应该把某个理论当做巫师声称能控制自然的神奇咒语。实用主义者坚持认真审验每一个词语，并要求它具有实用价值，即詹姆士所说的“现金价值”。从这里只要再往前走一步，就能得出实用主义的真理定义：真理就是某种有成效的东西。杜威的工具性真理概念同它如出一辙。在这一点上，实用主义本身成了一种最暧昧的形而上学，这就是为什么皮尔斯要想方设法割断与它的联系的缘故。且不论难以确定某个特定观点会产生什么样的后果以及这些后果最终是否有成效；无论在什么情况下，总有一些后果有成效，或者没有成效，但不管怎么说，都不得不以一种非实用主义的普遍方式来进行确定。如果说这些后果将会在某种无法确定的程度上有成效，从而回避这个问题，这也是不可能的，因为这将允许我们全盘接受任何东西。詹姆士似乎也觉察到了这种困难，他承认一个人有选择某种信仰的自由，如果这种信仰有助于幸福的话。宗教信仰就是一个不错的例子，但这绝不是一个教徒坚持自身信仰的方式。他并不是由于估计到这些信仰将给他带来满足感，才去接受它们，而是由于有了这些信仰，他才感到幸福。
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自哲学在希腊的最初发展起，数学就始终是哲学家们特别感兴趣的一个学科，最近两百年来的进展又明显地证实了这一点。莱布尼茨和牛顿所论述的微积分学使18世纪出现了数学发明的大爆发，然而数学的逻辑基础却没有得到正确理解，很多的运用都是由一些经不起推敲的概念组成的。数学分析在那个时代非常重视“无穷小”的概念，据说，它在新发明的微积分的运用方面充当了重要角色。“无穷小”是一个没有大小、也没有限度的量，但同时又在“逐渐趋向于零”。人们假设，正是这种量在形成微分系数和积分时发挥了作用。实际上，“无穷小”是数学谱系中最古老的一个概念，它可以追溯到毕达哥拉斯的“单元”，两者具有十分相似的含义。
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我们已经知道芝诺是如何揭示毕达哥拉斯学说的。在现代，对“无穷小”理论的批判同样来自哲学家。贝克莱可能是第一个指出其困境的人；黑格尔在讨论这些问题时也提出过一些生动有力的观点。但数学家们起初并没有重视这些警告，他们一如既往地探索自己的科学。当然，这样做也没什么不好，不过，在新学科的起源和发展问题上，却有一个特殊的事实：过早和过多的严密性将禁锢人的想像力，从而无法产生发明。从陈腐的形式主义枷锁中获得一定的自由，将促进某个学科早期阶段的发展，尽管这意味着要承担出错的风险。然而，任何领域的发展，总会有一个必须增强严密性的时期，在数学方面，其严密性始于19世纪初。法国数学家柯西率先提出了一套系统的极限理论，这种理论和德国维尔斯特拉斯后来的工作结合后，就取代了“无穷小”概念。而乔治·康托尔则首次研究了隐藏在这些发展背后的持续量和无限数的普遍性问题。
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◎乔治·康托尔的一个悖论：偶数与正整数一样多。
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数的无限性所导致的困难，从芝诺及其悖论起就已经存在了。如果回顾一下阿喀琉斯和乌龟的赛跑，我们就可以这样来分析这场比赛令人困惑的一面：每当阿喀琉斯到达一个点，乌龟都占据着另一个点，可以设想，两者在任何时候都占据着同样多的点，然而阿喀琉斯显然会覆盖更多的路面。这似乎就违反了全体大于部分的常识性概念。但是当我们论及无限集合时，情况却不同了。举个简单的例子，无限集合的正整数数列包括奇数和偶数，假如去掉所有的奇数，你可能就会认为剩下的数是原来的一半，然而余下的偶数却和原来数列的总数一样多（无限之多）。这个有点惊人的结论是很容易证明的，我们首先写下自然数数列，然后依次写下它的倍数数列。第一个数列中的每个数都能在第二个数列中找到对应的项，也就是数学家所谓的一一对应关系，这样，两个数列就具有了同样多的项。因此在无限集合的例证中，部分和全体就包含着同样多的项。这就是康托尔用来定义无限集合的性质。
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在这一基础上，康托尔提出了一整套无限数理论，尤其是他指出了存在着大小不同的无限数，尽管我们不能完全以谈论一般数字的方式来考虑它们。比自然数数列更明显的例子就是实数数列，假定所有的十进制小数依次排列，然后我们来生成一个新的小数表，做法是取第一项的第一个数、第二项的第二个数，由此类推，并把每个数自乘一次。结果，这个新的小数表与原表（我们已经设定它是完整的）中所有的小数都不同。这就证明，要生成一个可数的表是不可能的。与自然数相比，十进制小数具有更高的无限性。这个“对角线法”后来在符号逻辑中也得到了重要的应用。
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19世纪末，另一个问题引起了逻辑学家们极大的兴趣。最早的数学家们就有这样的愿望，就是证明整个科学是从某个单一起点出发，或者至少是从尽可能少的起点出发的一种演绎体系。这也是苏格拉底“善”的形式的一个方面。欧几里德的《几何原理》就提供了所需的一个例证，尽管他自己的论述是不充分的。
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◎皮亚诺的公设：一个数的后继者是一个数，任何数都有，且只有一个这样的后继者；零是一个数，但不是一个后继者。最后是数学归纳法原则。
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在算术方面，可以从意大利数学家皮亚诺提出的一小组公设中演绎出其他的一切。基本陈述一共有五条，它们定义了级数的分类，自然数数列就是其中一例。简单地说，这些公设表明，每个数的后继者也是一个数，每个数只有一个后继者。数列从零开始，虽然零也是一个数，但它本身并不是某个数的后继者。最后是数学归纳法的原理，通过这种方式，就可以确立数列中所有数的一般属性。该原理的运作如下：假如任何一个数“N”的某个特性既属于它的后继者，又属于“零”的话，那么它就属于数列中所有的数。
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从皮亚诺时代开始，人们就对数学的基础问题有了新的兴趣。在这个领域有两个对立的学派。一方面是形式主义者，他们主要考虑一致性；另一方面是直觉主义者，他们采纳了有点类似于实证主义的路线，要求你对自己碰巧谈到的东西提出解释或证明。
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这些数学发展有一个共同的特征，那就是逻辑学家对它们感兴趣。在这里，逻辑学和数学似乎开始接触和交融。康德曾经认为逻辑学是完善的，从他的时代起，逻辑学理论的研究已经发生了巨大的变化，尤其是产生了用数学公式来处理逻辑论证的新形式。最早对此做出系统说明的人是弗雷格（1848～1925），然而，人们竟然在长达二十年的时间里对他的著作毫不知晓，直到1903年，我使人们注意到了他的著作。长期以来，弗雷格在自己的国家里只是一名默默无闻的数学教授，只是近年来，他作为哲学家的重要性才得到人们的承认。
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弗雷格的数学逻辑观产生于1879年。1884年，他出版了《算术基础》一书，书中运用数学公式彻底论述了皮亚诺的问题。皮亚诺的公设虽然省事，但从逻辑上看，却不那么令人满意，因为它提出数学科学的基础应该是这些公设，而不是别的一些陈述，这看上去似乎有些武断。皮亚诺本人从未考虑过这些问题。
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弗雷格给自己定的任务，就是用最普遍的形式来解决这个问题。他所做的，就是把皮亚诺的公设作为自己符号体系的一个逻辑结论展现出来，这样立即就去除了武断的弊病，而且证明了纯粹数学只是逻辑学的一种延伸。给数本身推导出某种逻辑定义，是很有必要的。把数学变成逻辑学观点，皮亚诺的公设很明显地体现了这一点。因为这些公设把数学的基本词汇限定为两个术语：“数”和“后继者”，后者就是一个普遍性的逻辑术语。为了把词汇完全转换成逻辑术语，我们只需对前者做出某种逻辑性解释就行了。这也正是弗雷格所做的，他通过纯粹的逻辑概念给“数”下了定义。
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怀特海和我本人在《数学原理》中所作的定义，与弗雷格的定义有着很多共同之处。书中指出，一个数就是所有的类（近似于某个特定类）组成的类。因此每个由三种东西组成的类都是数3的一个例子，而数3本身就是所有这些类组成的类。至于通常意义上的数，则是所有特殊数的类，因此最终是一个第三阶的类。从这个定义中可能产生一个出人意料的特征，即数不能相加。虽然你能够把三个苹果和两个梨相加，得到五个水果，但你却不可能把所有三元的类和所有二元的类相加。但正如我们所知，这实际上根本不是什么新发现，柏拉图早就说过数是不能相加的。
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◎《数学原理》的作者之一：伯特兰·罗素。