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我们已经知道芝诺是如何揭示毕达哥拉斯学说的。在现代，对“无穷小”理论的批判同样来自哲学家。贝克莱可能是第一个指出其困境的人；黑格尔在讨论这些问题时也提出过一些生动有力的观点。但数学家们起初并没有重视这些警告，他们一如既往地探索自己的科学。当然，这样做也没什么不好，不过，在新学科的起源和发展问题上，却有一个特殊的事实：过早和过多的严密性将禁锢人的想像力，从而无法产生发明。从陈腐的形式主义枷锁中获得一定的自由，将促进某个学科早期阶段的发展，尽管这意味着要承担出错的风险。然而，任何领域的发展，总会有一个必须增强严密性的时期，在数学方面，其严密性始于19世纪初。法国数学家柯西率先提出了一套系统的极限理论，这种理论和德国维尔斯特拉斯后来的工作结合后，就取代了“无穷小”概念。而乔治·康托尔则首次研究了隐藏在这些发展背后的持续量和无限数的普遍性问题。
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◎乔治·康托尔的一个悖论：偶数与正整数一样多。
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数的无限性所导致的困难，从芝诺及其悖论起就已经存在了。如果回顾一下阿喀琉斯和乌龟的赛跑，我们就可以这样来分析这场比赛令人困惑的一面：每当阿喀琉斯到达一个点，乌龟都占据着另一个点，可以设想，两者在任何时候都占据着同样多的点，然而阿喀琉斯显然会覆盖更多的路面。这似乎就违反了全体大于部分的常识性概念。但是当我们论及无限集合时，情况却不同了。举个简单的例子，无限集合的正整数数列包括奇数和偶数，假如去掉所有的奇数，你可能就会认为剩下的数是原来的一半，然而余下的偶数却和原来数列的总数一样多（无限之多）。这个有点惊人的结论是很容易证明的，我们首先写下自然数数列，然后依次写下它的倍数数列。第一个数列中的每个数都能在第二个数列中找到对应的项，也就是数学家所谓的一一对应关系，这样，两个数列就具有了同样多的项。因此在无限集合的例证中，部分和全体就包含着同样多的项。这就是康托尔用来定义无限集合的性质。
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在这一基础上，康托尔提出了一整套无限数理论，尤其是他指出了存在着大小不同的无限数，尽管我们不能完全以谈论一般数字的方式来考虑它们。比自然数数列更明显的例子就是实数数列，假定所有的十进制小数依次排列，然后我们来生成一个新的小数表，做法是取第一项的第一个数、第二项的第二个数，由此类推，并把每个数自乘一次。结果，这个新的小数表与原表（我们已经设定它是完整的）中所有的小数都不同。这就证明，要生成一个可数的表是不可能的。与自然数相比，十进制小数具有更高的无限性。这个“对角线法”后来在符号逻辑中也得到了重要的应用。
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19世纪末，另一个问题引起了逻辑学家们极大的兴趣。最早的数学家们就有这样的愿望，就是证明整个科学是从某个单一起点出发，或者至少是从尽可能少的起点出发的一种演绎体系。这也是苏格拉底“善”的形式的一个方面。欧几里德的《几何原理》就提供了所需的一个例证，尽管他自己的论述是不充分的。
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◎皮亚诺的公设：一个数的后继者是一个数，任何数都有，且只有一个这样的后继者；零是一个数，但不是一个后继者。最后是数学归纳法原则。
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在算术方面，可以从意大利数学家皮亚诺提出的一小组公设中演绎出其他的一切。基本陈述一共有五条，它们定义了级数的分类，自然数数列就是其中一例。简单地说，这些公设表明，每个数的后继者也是一个数，每个数只有一个后继者。数列从零开始，虽然零也是一个数，但它本身并不是某个数的后继者。最后是数学归纳法的原理，通过这种方式，就可以确立数列中所有数的一般属性。该原理的运作如下：假如任何一个数“N”的某个特性既属于它的后继者，又属于“零”的话，那么它就属于数列中所有的数。
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从皮亚诺时代开始，人们就对数学的基础问题有了新的兴趣。在这个领域有两个对立的学派。一方面是形式主义者，他们主要考虑一致性；另一方面是直觉主义者，他们采纳了有点类似于实证主义的路线，要求你对自己碰巧谈到的东西提出解释或证明。
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这些数学发展有一个共同的特征，那就是逻辑学家对它们感兴趣。在这里，逻辑学和数学似乎开始接触和交融。康德曾经认为逻辑学是完善的，从他的时代起，逻辑学理论的研究已经发生了巨大的变化，尤其是产生了用数学公式来处理逻辑论证的新形式。最早对此做出系统说明的人是弗雷格（1848～1925），然而，人们竟然在长达二十年的时间里对他的著作毫不知晓，直到1903年，我使人们注意到了他的著作。长期以来，弗雷格在自己的国家里只是一名默默无闻的数学教授，只是近年来，他作为哲学家的重要性才得到人们的承认。
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弗雷格的数学逻辑观产生于1879年。1884年，他出版了《算术基础》一书，书中运用数学公式彻底论述了皮亚诺的问题。皮亚诺的公设虽然省事，但从逻辑上看，却不那么令人满意，因为它提出数学科学的基础应该是这些公设，而不是别的一些陈述，这看上去似乎有些武断。皮亚诺本人从未考虑过这些问题。
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弗雷格给自己定的任务，就是用最普遍的形式来解决这个问题。他所做的，就是把皮亚诺的公设作为自己符号体系的一个逻辑结论展现出来，这样立即就去除了武断的弊病，而且证明了纯粹数学只是逻辑学的一种延伸。给数本身推导出某种逻辑定义，是很有必要的。把数学变成逻辑学观点，皮亚诺的公设很明显地体现了这一点。因为这些公设把数学的基本词汇限定为两个术语：“数”和“后继者”，后者就是一个普遍性的逻辑术语。为了把词汇完全转换成逻辑术语，我们只需对前者做出某种逻辑性解释就行了。这也正是弗雷格所做的，他通过纯粹的逻辑概念给“数”下了定义。
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怀特海和我本人在《数学原理》中所作的定义，与弗雷格的定义有着很多共同之处。书中指出，一个数就是所有的类（近似于某个特定类）组成的类。因此每个由三种东西组成的类都是数3的一个例子，而数3本身就是所有这些类组成的类。至于通常意义上的数，则是所有特殊数的类，因此最终是一个第三阶的类。从这个定义中可能产生一个出人意料的特征，即数不能相加。虽然你能够把三个苹果和两个梨相加，得到五个水果，但你却不可能把所有三元的类和所有二元的类相加。但正如我们所知，这实际上根本不是什么新发现，柏拉图早就说过数是不能相加的。
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◎《数学原理》的作者之一：伯特兰·罗素。
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弗雷格通过对数学的论述，系统地阐释了一个命题的含义和所指之间的区别。要想证明“等式并不只是空洞的重复”这一事实，就需要这种区分。等式两边虽然具有共同的所指，但含义是不一样的。作为一种符号逻辑学体系，弗雷格的解释并没有为他赢得很大的声誉，部分原因无疑是由于它的符号过于复杂费解。而《数学原理》则使用了近似于皮亚诺式的符号，而且已经证明它们更具适应性。从此以后，数学逻辑领域开始应用大量的符号。著名的波兰逻辑学派设立的符号是其中最精致的符号之一，并在上一次战争中得以传播开来。
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同样，在约简符号及体系的基本公理数目方面也取得了很大进展。美国逻辑学家希弗尔设立了一个单一的逻辑常量，可以利用它来依次定义命题演算的常量。借助这种新的逻辑常量，就有可能把符号逻辑体系建立在单一的公理基础之上。不过这都是高度专业化的问题，在这里无法进行详细解释。
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从纯粹形式意义上说，数学逻辑不再是哲学家关注的对象，它是留给数学家处理的问题。的确，它也是一种非常特殊的数学。哲学家感兴趣的是普遍性“符号”假设所产生的问题，这些假设在体系进行之前就被提出来了。
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同样，符号体系的建立过程中有时得出的矛盾结论，也引起了哲学家的兴趣。《数学原理》在论述数的定义时，就得出了这样的一个悖论。产生这一悖论的原因就是“所有类组成的类”这一概念。因为，显然“所有类组成的类”本身也是一个类，因此属于所有类组成的类。这样一来，它就把自己当成了自己的成员。当然，还有许多别的类并没有这种性质。由全体选民组成的类本身不具有普选资格。当我们考虑并非自身成员的“所有类组成的类”时，悖论也就出现了。
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问题在于这个类是不是它自身的一个成员。如果假定它是，那么它就不能成为包含自身的类的例子。但是，为了成为自身的一个成员，它又必须是我们首先考虑的那种类型，即不是自身的一个成员。相反，要是我们假定所讨论的类不是自身的一个成员，那么它就不是一个不包含本身的类的例子。然而，为了不成为自身的成员，它又必须像一开始提出的问题那样，是本身的一个成员。无论在哪种情况下，我们都将得出一个自相矛盾的结论。
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要摆脱这种困境是可能的，如果我们能注意到，绝不可站在完全相同的立足点上论述“类”和“类的类”，就像通常情况下，不在同一层次上论及一个人和一些国家一样。因此，我们显然没有必要像提出悖论那样，在谈到属于自身成员的“类”时纠缠不清地兜圈子。虽然已经有很多方法来应付有关悖论的难题，但在如何解决方面，却依旧没有达成普遍的共识。不过与此同时，这个问题已经使哲学家们再次意识到了审查建立命题及用词方式的必要性。
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