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因此，就只剩下代数和算术这两门科学是我们能够在其中把推理连续地推进到任何复杂程度而仍保持完全的精确性和可靠性的。我们具有一条精确的用来判断数的相等和比例的标准，而且依照数是否符合那条标准而确立它们的关系，而不至于有任何错误的可能。当两个数是这样地结合起来，以至于其中一个数的单位总是与另一个数的每一单位相对应，我们就断定它们是相等的。正是由于在广延中缺乏这种相等的标准使几何学难以成为一门完善无误的科学。
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这里，我们不妨消除一个可能会在我如下的断言中产生出来的一个困难，这个断言即是：尽管几何学缺乏算术和代数所特有的完美的精确性和确定性，但它仍然优于感觉和想象的不完善的判断。我之所以把一些缺点归于几何学，是因为它的原初的、基本的原理都只是来自现象。或许有人会认为这种缺点必定永远伴随着几何学，从而使它在比较各种对象和观念时所达到的精确性不能比单凭我们的眼睛和想象所能达到的精确性更大。我承认这种缺点是这样地伴随着几何学以致不能使它达到它所追求的完全的确定性。但是，既然这些基本的原理建立在最简单和最少欺骗性的现象之上，它们就赋予它们的结论以一定程度的精确性，而这种精确性是这些结论单独达不到的。人眼不可能断定千边形的内角之和等于一千九百九十六个直角，或者做出任何接近这个比例的猜测。但是，当它断定若干条直线不能重合，过两点我们不能做一条以上的直线时，其错误决不会很大。这便是几何学的本质和功用；它使我们一直达到那些由于其简明性而不可能把我们引入重大错误的现象。
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我想借此机会在这里提出另外一个涉及到我们的论证性推理的意见，这个意见也是由同一个数学论题所提示出来的。数学家们通常都自命那些作为他们的对象的观念具有一种精细的、理想的本质，使它们不会被归在想象的概念之下，而必须通过一种纯粹的、理智的观点才能理解，而这种观点只有心灵的高级能力才能具有。同样的思想也贯穿于哲学的大多数部门，而且主要是用于解释我们的抽象观念，表明我们怎样形成一个例如既不等腰，也不等边，也不限于特定的边的长度和比例的三角形的观念。很容易就可以看出为什么哲学家们如此热中于那些理想的、精细的知觉观念，因为通过那种方法他们可以掩盖他们的许多谬误，且可以通过诉诸他含混、不确定的观念拒不服从清晰的观念的判定。为了摧毁这种诡计，我们只需反省一下我们如此经常坚执的那个原则：我们所有的观念都是由我们的印象复制而来的。因为由此我们立刻就可以断言，既然我们的所有观念都是清晰而精确的，那么由它的复制出的观念也必定具有同样的本质，除了我们自己的过错以外，绝不能包含如此模糊繁杂的东西。观念本质上就比印象微弱而不明晰，但是在任何别的方面都是一样的，因而不可能包含任何极大的不可思议的东西。如果观念的微弱性使它含混，那么我们的责任便是通过尽可能地使观念可靠而精确来弥补那个缺欠。如果没有做到这一点，却奢谈什么推理和哲学，那是毫无裨益的。〕
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上面列举的“完全决定于观念”的四种关系——有时也叫做“推理的关系”——对休谟来说是产生先天真理的关系。借助直觉和论证对这些关系的知觉是理性的能力所具有的惟一力量。只是对报道这些观念间关系的命题我们才具有与或然性意见相反的知识。所有其他命题都是借助通过与联想的原则一致的习惯而进行的想象得到的。
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如上所述，休谟和所有其他在康德之前的经验论者一样，混淆了逻辑与发生心理学，并且借助于一个假设的关于我们认识真理的方式的心理学事实而把先天真理与其他真理区别开来。
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他正确地把算术和代数命题置于先天真理之中，他如此认为的原因是，这些命题是从被直觉地认识的真理中演绎出来。至于直觉是什么，则仍然是含糊不清的。
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在《人性论》中，休谟并不认为几何学是先天的。在第2部分中他以一定的篇幅讨论了这个问题。在这部分中他得出了在上面引文中总结出来的一些结论：我们用来证明来自几何学公理的定理的演绎推理的步骤确实是可靠无误的，但是公理本身因为“来自事物的现象”，所以不是可靠无误的，这尤其是因为并不具有（正如我们在算术和代数中对一些数具有）关于空间中广延相等的精确标准。然而，几何学仍大大地优于我们别的经验知识，因为这些几何学公理尽管不完全可靠，但“依赖于最简明而且最少欺骗性的现象”。
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谈到应用几何学，即描述空间中的实际客体的性质的几何学，休谟是完全正确的。我们不具备关于比如说两条实际线条长度相等的标准；确实，谈论绝对相等而不涉及到测量工具和它们的错误程度是否有任何意义，是值得怀疑的。然而，纯粹几何学并不描述空间的经验性质。它与英尺、测量员的测链以及经纬仪的作用方式毫无关系。它是纯粹抽象的关系的系统——是一种用于完全不同的问题的范围中的逻辑范型，这可以从下面这个事实看出：对它来说只存在着“解释”（或运用）而不是空间中的事物，在休谟的后期著作《人类理智研究》中，有一含糊的段落暗示了他已认识到这种区分，并且准备把纯粹几何学归于它所属的先验领域。
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休谟对因果关系的分析，以及他必然提出归纳问题[1]，是他对知识理论的最重要贡献，也是他的最著名的贡献。康德研究这个问题的结论的巨大努力开了近代哲学的先河。而对休谟的问题不能提供答案（做这种努力的著作汗牛充栋）则被称做哲学的耻辱。
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休谟从强调因果关系的重要性着手。因果关系是惟一能使我们超出当下直接印象而推知任何对象的存在、或者任何事件的发生的惟一关系。如果没有因果关系，我们就没有根据去相信任何超出我们自己当下的直接经验的事物[2]。然后，他继续考察原因和结果的一个独特的例子。他所采用的例子，我们也可以铭记心中。这个例子即是：一个弹子球撞击另外一个弹子球从而引起那个球的运动。在这种情况下，我们说事件甲引起事件乙，我们的意思是什么?休谟说，首先，甲和乙是空间上接近的；其次，甲直接发生在乙之前。但是，这些尽管是因果关系的必要条件，却不是充分条件。显然，我们不会说，每一对空间上接近的事件，如果其中有一个是直接发生在另一事件之前，那么它便是另外那个事件的原因。如果你用手指碰一下桌子并且立即感到手指痛，你不会假定第一个事件（碰桌子）必然就是第二个事件（手指痛）的原因，因为第二个事件在没有第一事件的情况下也可以发生。第三个条件必须得到满足：必须有一种必然的联系。
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在把因果关系这一观念解析为它的组成观念即空间接近，时间在先和必然联系之后，休谟在第三部分中致力于研究最含糊而且在目前最重要的第三个观念，即必然联系的观念。
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通常，在阐明一个模糊观念时，休谟的研究总是受发生学问题的支配：“观念来自何种印象?”论证是复杂的而且过程曲折，因为休谟“接触到了所有邻近的领域”。因此，在我看来最好用现代语言来做一个总结[3]。
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让我们研究一个“甲引起乙”这个特殊的例子。休谟说，第一，这种关系不是一种逻辑蕴含关系，因为“不存在蕴含着其他任何对象的存在的对象”。休谟企图以心理学标准取代逻辑蕴含，并且质问我们是否能够设想没有乙伴随着的甲；不过这并不是他意欲形成的观点：不论甲和乙在心理学意义上是不是有差别（在这一点上一个个体可以与另一个彼此不同），它们要么是，要么不是这样被运用的，即使命题“甲已经发生，没有直接被乙跟随”是自相矛盾的。若不然，是什么使我们认为它陈述了一种必然的关系?因此，毫无疑问，我们经常陈述“甲引起乙”这种形式的命题，在这里“甲引起乙”的矛盾是自相矛盾，即命题“甲引起乙”是分析命题；不过这既不是对“引起”一词最常见的用法，也不是历史的基本用法。当然，如果我们所有的因果命题都在这种意义上是分析的，而且是从定义和诸如此类的东西中推论出来的，那么，总的来说，探究这些命题之间的关系就将变成一种类似于按照固定的规则交换筹码那样的词典编辑式的游戏，而且，这种游戏不能给我们提供任何关于世界的信息。因此休谟的观点仍然有效：有许多最重要的因果命题，其中甲和乙的关系是非逻辑的。
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但是，如果这种关系不是逻辑的，那么它必定是经验的。不过，正如休谟所强调的一样，在任何一个例子中，除了事件的纯粹结果以外，没有任何可观察的东西。一个弹子球滚回另一处一个弹子球，二者发生接触，第二个球也开始滚动，在这里没有任何可观察的东西能够被称做必然的联系。说一个事件是因另一个事件“发生”的仅仅只是杜撰“被引起”的同义词——而这正是我们所讨论的问题。而且诸如“力”、“功”、“创造”、“动因”等其他词也不能推动这种研究（可以看到，像力学所用的“力”这类词并不指称客体间的不可观察的联系，它们是指称被观察的现象的被观察和可观察的规律的速记方式。对这些词的拟人化联想确实会使人误解，而且已经导致了各种形式的“感情的误置”，但是它们和力学毫不相干）。总之，关于非逻辑的必然联系——两个事件之间的当下可见而且是必然的一种联系的思想是难以理解的。
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休谟接着又注意到第三种性质，它将空间上接近和时间上持续的事例（在这种事例中，我们称结果为因果性的）与那种事例（在这里我并不把结果称做因果性的）区别开来：在前者结果是有规则的而从，即经常看到它发生了不会发现它没有出现。休谟称之为“恒常联系”。按照休谟的说法，这当然不是事件之间的实在的、外在的、必然的联系——世界的一项内容。不过它却提供了一把钥匙，以便从心理学上解释为什么我们认为一些事件是必然联系着，尽管这种思想原来不过是体现了一种幻象（今天，如果我们接受休谟对因果关系的分析[4]，我们应该更倾向于断言，恒常联系以及空间的接近和时间的持续构成了正确运用“原因”一词的标准）。休谟的解释是这样的：当我们经常发现一类事件甲总是和一类事件乙结合在一起时，我们的想象中就会建立起一种习惯性的联想，以至于不论我们什么时候看到一个新的甲，心灵就会以一种势不可挡的力量产生乙的观念，这种力量本身是一种通过反省而可观察的感觉。现在，我们不合法地把这种关于力的感觉设计到外在世界中去，并且认为“力”或“能力”推动或牵引世界中的事件或物体。至于心理学的机制——不可抗拒的联想，使看来似乎显然是因果关系的形式——与其说是心理学的还不如说是物理学的内在强制力外在化的倾向等概念，休谟没有加以分析。如果我们想避免借助内在的因果关系使外在的因果关系得以解释搪塞的恶性循环，我们就必须假定休谟认为这种过程本身只是规律性，它们本身也是可观察的，是“冷酷的事实”——即对必然性的探究必须停止于此的终点。
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休谟关于我们对“原因”一词用法的分析在其他意义上也是不充分的。在描述在世界中发现的规律时，我们并不采用“原因”一词，例如，在陈述天文学或者现代物理学规律时，从来就不会出现“原因”这个词。只是在要满足特定的具体条件时我们才倾向谈及引起彼一事件的此一事件。另外，被观察到的恒常会合并不总是研究“因果作用”的主要根据——它经常通过我们得自被人们接受的科学理论的演绎得到加强和超越。而这些理论通常被人们接受并不只是以规律为基础。最后，休谟从心理学上来解释世界中“实在的”有制约力的联系的幻象，当然不是完全正确的。这种思想至少可以追溯到关于无生命世界的唯灵论设计，例如意志作用的感觉和也许首先是肌肉作用力的感觉。
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但是，这种批判并没有贬损休谟包含在对归纳问题揭示中的发现的极端重要性，如果我们关于世界的所有一般陈述都是因果关系的（实则不然），如果“原因”一词代表事件之间的彼此结合的形而上学的凝结剂，诸如在任何情况下如果没有彼一事件，此一事件不仅永远不会而且不能发生，那么就不会有归纳问题。而对未被观察到的事物正如对已观察到的事物一样，我们的一般命题都将完全得到“形而上学”的保证。但是，休谟表明了“原因”一词并不表象任何这样的不可感触的实体，因而公开揭示了一个迄今很少为人注意的问题，即，我们似乎能够认识，而原则上对此却决不会有确定的认识：任何以被观察到的现象的事例为基础的概括，当它被推论到包含不论是过去还是现在的未被观察到的事例时，都能保持为真。
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如果我们想以类似于我们的演绎知识——比如说以数学知识的确定性认识我们没有观察过的事实，如果物理学的陈述要想如比方说几何学那样坚不可摧，那么，我们所需要的是对“没有观察到的事例与被观察到的事例相似”这条归纳原则的绝对保证。休谟正确地断言，我们无论在哪里都得不到这种保证——我们既不会也不能发现任何能使归纳像演绎那样确定的原则。而且——他比他的后继者们在这个领域里显得更为敏锐——我们不能不循环地表明这样一条原则甚至是可能的：“或然性是建立在对那些我们已经经验到的客体与尚未经验到的客体之间的相似性的假设之上的。因此，这种假设不可能从或然性中产生出来。”或然性是以无法确立的归纳原则为基础的，它本身不能用来确立它自己，这是休谟及后来的哲学家们的著名的“怀疑论”的基础。人们要么以顺从来接受这种态度，要么视之为怯懦和荒谬而加以责难。然而要想为上面的两种做法中的任何一种找到好的理由都是困难的；因为我们所说的怀疑主义只是怀疑把归纳转变成正好为它所不是的那种演绎的可能性；而这并不是理性的抱负。休谟本人的主要过错是：和他的同代人一样，他认为演绎是正确推理的惟一真实的形式；因而把我们从原因到结果的推论归于“想象”——非理性作用的根源。如果我们想完全地理性化，我们就必须具有对归纳的“证明”。但是，什么能够证明它?寻求保证就是要求一个其中的事件和物体都是“客观”必然地联结在一起的世界。如果休谟表明了什么，那么他所表明的就是这种思想不是不可理解的，是以逻辑机制与经验事实的混淆为基础的，并且表明了他希望逻辑的或数学的或语法的符号应该具有客观的对应物，这种对形而上学体系的追求是所有占据人心的幻想中最令人着魔的幻想之一。[5]
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〔第2节 论或然性和因果观念
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关于这四种作为科学的基础的关系，我认为要说的就是这些。至于另外三种关系，它们并不依赖于现象。甚至在观念保持同一时可以不存在或者存在，理应对它们做更详细的说明。这三种关系是同一性、时空中的位置及因果关系。
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各种推理都不过在于比较和发现两个或两个以上的客体彼此具有的不论是恒常的还是非恒常的关系。不论是这两个客体都呈现给感官，抑或都不呈现给感官，还是只有一个呈现给感官，我们都可以做出这种比较。当两个客体连同它们的关系一起呈现给我们的感官时，我们就称之为知觉而不是推理，因为在这种情形下，并没有任何思想或活动的作用，严格地说来，只是一种通过感觉器官对印象的被动的接受。依照这种思维方式，我们就不应该把任何对同一性和时空中的关系所做的观察看做推理，因为在这两种关系中心灵都不能超出直接呈现给感官的东西，也不能揭示客体的真实存在或关系。只有因果关系才产生这种联系，使我们从一个客体的存在或行为确信它必然伴随其他存在或活动，或者以其他存在或活动为前提。而其他两种关系则不能用于推理，除非它们在影响这种关系或者被这种关系影响的范围之内。在任何客体中都没有什么东西可以使我们相信它们要么总是遥远的，要么总是接近的；而且当我们从经验和观察中发现它们在这方面的关系是不变的时候，我们总是断言有一些使它们分离或使它们结合的秘密原因。同样的推理可以推广到同一性。尽管一个客体在我们感官面前时隐时现，我们也容易假定它可以保持其个体的同一，而且不管知觉的中断，我们还是把同一性归结它，不论什么时候，我们都断言，如果我们的眼睛保持不停地注视它，我们的手保持不停地触摸它，它就会传来一个不变的不间断的知觉。但是这种超出我们的感官印象的结论只能建立在因果关系之上。除此之外，我们不能另外提供任何保证，说不论新的客体与先前呈现给我们感官的客体多么相似，这个客体并没有根据我们而变化。不论我们什么时候发现这类完全的相似关系，我们都会考虑它是否与那类对象相同，是否可能或很可能有在产生这种变化和相似关系时发挥作用的原因；根据我们对这些原因和结果所做的判断，我们就形成关于客体的同一性的判断。
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因此，这里已经表明，在那些不只决定于观念的三种关系中，惟一能被追溯到超出我们的感觉，并且告知我们不曾看见或感觉过的存在和客体的是因果关系。因此，在结束理智这个主题之前，我们将努力对这种关系做充分的解释。
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依照程序着手，我们必须考察因果关系的观念，看看它是从什么来源产生的。如果没有完全理解我们进行推理的观念，我们就不可能进行正确的推理；而如果我们不对观念追根溯源，并且考虑它所产生的原初印象，我们就不可能完全理解任何对象。对印象的考察赋予观念以明晰性，而对观念的考察则赋予我们所有的推理以一种同样的明晰性。
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因此，让我们把眼光投向我们称做原因和结果的任何两个客体，并且从各方面对它们加以审视，以便发现那个产生了如此重要的结果的印象。乍看之下，我发觉我不必在客体的任何特殊性质中探寻这个印象，因为在这些性质中不论我选定哪种，我都会发现一些客体虽不具备这种性质，却仍可归在原因和结果的名称之下，确实，不论是外在存在还是存在于内心的东西，没有不被认为是原因或者结果的，尽管很明显没有一种性质普遍地属于所有存在，并且使它理应得到那个名称。
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所以，因果关系的观念必定是从一些客体间的关系中得来的，现在我们必须努力去发现那种关系。首先，我发现所有被看做原因和结果的客体都是接近的；在稍微离开其存在的时间和地方以外的时间和地方，任何东西都不能发挥作用。尽管那些互相远离的对象有时看似可以互相产生，但通过观察它们便会被发现是由原因的链条联系着的，而这些原因本身之间则是接近的，而且与那些彼此分离的客体也是接近的；在我们不能发现这种联系的任何情况下，我们仍假设它存在着。因此，我们可以认为接近关系对因果关系是必要的；在我们能找到适当的机会，通过考察哪些客体能够并列和结合，哪些客体不能并列和结合，从而澄清这个问题之前，我们至少可以依照一般意见假设它是这样。
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