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因而，当转换不可能时，三段论由此产生的前提之一是不能被证明的；因为，从给定的词项中不可能证明小词属于中词或中词属于大词。但如果转换是可能的，即如果A、B、C可以互相转换，那么就能交互地证明一切事物。设AC通过中项B被证明，AB通过结论以及前提BC的转换得到证明，BC也用同样的方式，即通过结论和前提AB的转换被证明。可是，我们必须证明前提CB和BA，因为这些是我们使用过的前提中仅剩的尚未被证明的前提。如果设定B属于所有C，C属于所有A，我们就能得出一个关于B与A的联系的三段论。再者，如果设定C属于所有A，A属于所有B，则C必定属于所有B。在这两个三段论中，前提CA都是断定的，而没有经过证明（其他前提已经被证明了），因此，如果我们证明了它，那么它们就都能交互地得到证明。如果设定C属于所有B，B属于所有A，这两个所设定的前提都已被证明，则C必定属于所有A。
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因此，很显然，只有当换位可能时，循环的交互的证明才可能产生；在其他三段论中，它们的使用情况一如上述。在它们之中也会出现用有待于证明的东西来进行证明的情况，我们通过设定C述说A证明C述说B、B述说A，我们又通过这些前提证明C述说A。所以，我们是使用了结论来进行证明。
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在否定三段论中，交互证明是这样产生的。让B属于所有C，A不属于任何B，结论是，A不属于任何C。如果反过来要求确立以前所设定的A不属于任何B，则我们要有前提A不属于任何C，C属于所有B；这样，前提BC就颠倒了。另一方面，如果要求确立B属于C，则前提AB一定不能再像以前那样换位（因为前提“B不属于任何A”与“A不属于任何B”是相同的）；但我们必须设定B属于A所不属于其任何部分的事物的全体。让A不属于任何C（它是以前的结论），设定B属于A所不属于其任何部分的事物的全体，则B必定属于所有C。
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这样，在三个命题中，每一个都变成了结论，这就是循环证明，即设定结论以及一个前提的换位，由此推论出余下的前提。
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在特称三段论中，全称前提不能通过其他前提得到证明，但特称前提却可以。全称前提不可能被证明是很显然的。因为全称前提是通过全称前提证明的，但结论不是全称的。而我们必须从结论及另一个前提中得出证明（此外，如果前提可以互换，则根本不会有三段论产生，因为两个前提都变成了特称的）。但特称前提是可以证明的。设定通过B证明A述说于有些C。如果设定B属于所有A，结论不变，则B属于有些C，因为这是第一格，中词是A。
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如果三段论是否定的，则全称前提不可能被证明，原因如同上述。但特称前提是可以证明的。如果AB可以像在全称三段论中那样转换，即B属于A不属于其有些部分的事物的有些部分[8]，否则，就不能产生三段论，因为特称前提是否定的。
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【6】在第二格中，肯定命题不能以这种方式证明，但否定命题却可以。肯定命题不能被证明，因为两个前提并不都是肯定的，结论是否定的，而肯定命题只能为两个都是肯定的前提所证明。否定命题可作如下证明。让A属于所有B，但不属于任何C，结论是B不属于任何C。那么，如果设定B属于所有的A，不属于任何C，则A必定不属于任何C，因为这是第二格（中词是B）。如果设定AB是否定的，另一个前提是肯定的，那么这就是第一格。因为C属于所有A，B不属于任何C，所以B不属于任何A，因而A不属于任何B。这样，根据结论和一个前提，三段论不能成立。但如果再设定一个前提，则三段论就可以成立。
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如果三段论不是全称的，则全称前提不能被证明（原因如同上述[9]），但当全称陈述是肯定的时，特称前提可被证明。让A属于所有B，但不属于所有C，结论是BC。那么，如果设定B属于所有A，但不属于所有C，则A不属于某个C（中词是B）。但是，如果全称前提是否定的，前提AC不可能通过AB的换位得到证明，因为由此可推出，要么一个，要么两个前提变成了否定的，所以三段论不能成立。但可以用在全称三段论中所使用的相同方法来证明它，即设定A属于某种B不属于的东西[10]。
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【7】在第三格中，如果设定两个前提都是全称的，则交互证明不可能，因为全称命题只能通过全称前提得到证明。在这个格中，结论总是特称的；所以很显然，全称前提根本不可能在这个格中得到证明。但是，如果一个前提是全称的，另一个前提是特称的，则交互证明有时可能，有时不可能。当我们设定两个前提都是肯定的，小前提是全称的时，是可能的，当另一个前提是全称的时，则不可能。让A属于所有C，B属于某个C，结论是AB。那么，如果设定C属于所有A，就可以证明C属于某个B，但不能证明B属于某个C。同样必然的是，如果C属于某个B，B必定也属于某个C，但“x属于y”并不与“y属于x”相同；我们必须进一步设定，如果x属于某个y，则y也属于某个x。如果我们设定了这一点，则三段论就不再是从结论及另一个前提中产生的。如果B属于所有C，A属于某个C，则在设定C属于所有B，A属于某个B之后，前提AC就能得到证明。因为如果C属于所有B，A属于某个B，A就必定属于某个C，B是中词。
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当一个前提是肯定的，另一个前提是否定的，肯定前提是全称的时，另一个前提就能得到证明。让B属于所有C，A不属于某个C，结论是，A不属于某个B。所以，如果进一步断定C属于所有B，则必然可以推出A不属于某个C，中词是B。但当否定前提是全称的时，另一个前提便不能得到证明。除非像在前一个例子中那样[11]，设定当一个词项不属于某个事物，另一个词项却属于另个事物。例如，如果设定A不属于任何C，B属于某个C，结论是A不属于某个B。所以，如果设定C属于某种A所不属于的事物，则C必然属于某个B。不可能用将全称前提换位的方法证明另一个前提，因为无论何种情况，三段论都不成立。
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因此，很显然，在第一格中，交互证明既通过第三格也通过第一格而产生。当结论是肯定的时用第一格，当结论是否定的时用第三格；因为已经设定，如果一个词项不属于某事物的任何一个，则另一个词项属于那个事物的全体。在中间格中，当三段论是全称的时，交互证明无论是通过这个格自身还是通过第一格都是可能的；当它是特称的时，则既可以借助这个格，也可以借助最后格；在第三格中，一切证明都只能通过这个格自身。很显然，在第三格以及在中间格中，不通过这些格自身而产生的三段论，要么不能根据循环论证证明，要么是不完善的。
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【8】转换一个三段论即是将结论倒转，这样构成一个要么大项不属于中项，要么中项不属于小项的三段论。因为如果结论被转换，一个前提仍与以前一样，那么剩下的前提必定是无效的。如果它是有效的，则结论也必定是有效的。我们把结论转换成相矛盾的还是相反对的，这是有差异的；因为转换的方式不同，所产生的三段论也不相同。这从下面的解释中将会看得很清楚（“属于所有”的矛盾面是“不属于所有”，“属于某个”的矛盾面是“不属于任何一个”，而“属于所有”的反对面是“不属于任何一个”，“属于某个”的反对面是“不属于某个”）[12]。
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让我们假定，A述说所有C，已经通过中词B证明。设定A不属于任何C，但属于所有B，则B不属于任何C。如果A不属于任何C，但B属于所有C，则A不属于所有B，但根本不能推论出它不属于任何B，因为以前说过[13]，全称命题不可能为最后格所证明。一般说来，不可能通过换位使全称的大前提无效，原因在于，反驳总是通过第三格；因为我们必须设定两个前提与小词相联系。
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如果三段论是否定的，同样的道理也适用。假如A不属于任何C已经通过中项B得到证明，因此，如果设定A属于所有C，但不属于任何B，则B也不会属于任何C；如果A和B属于所有C，则A属于某个B，但根据假设它不属于任何B。
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但是，如果结论是在相互矛盾的意义上被换位，则三段论也是矛盾的，不是全称的；因为前提中有一个特称，则结论也是特称的。假定三段论是肯定的并且在刚才所说的意义上被换位，因此，如果A不属于所有C，但属于所有B，则B不属于所有C。如果A不属于所有C，但B属于，则A不属于所有B。如果三段论是否定的，情况也相同。因为如果A属于某个C，但不属于任何B，则B不属于某个C，但不是绝对不属于任何一个。如果A属于某个C，B属于所有C，正像原来所假定的那样，则A属于某个B。
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在特称三段论中，（1）当结论在矛盾的意义上被换位时，两个前提都是可反驳的；（2）当它在相反的意义上被换位时，两个前提都是不可反驳的。因为结果不再像在全称三段论中那样是一种反驳，即经过转换后所达到的结论缺少普遍性；相反，根本就没有反驳。（1）假定已经证明A属于某个C，因此，如果设定A不属于任何C，但B属于某个C，则A就不属于某个B。并且如果A不属于任何C，但属于所有B，则B不属于任何C。这样，两个前提都是可反驳的。（2）如果结论是在反对的意义上被转换，则没有一个前提是可反驳的。因为如果A不属于某个C，但属于所有B，则B不属于某个C。但原来的假定尚未遭到反驳，因为可能属于某个，而不属于另一个。至于全称前提AB，根本找不到可反驳它的三段论；因为如果A不属于某个C，B属于某个C，则没有一个前提是全称的。如果三段论是否定的，情况也相同。因为如果设定A属于所有C，两个前提都可反驳；但如果它属于某个C，则没有一个前提可反驳，证明与以前相同。
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【9】在第二格中，不论换位在什么方式上进行，大前提也不能在相反对的意义上被反驳；因为结论总是通过第三格而获得的。而我们以前说过[14]，在这个格中没有全称的三段论。但是，另一个前提却可以在与换位相同的意义上被反驳（所谓“在相同的意义上”，我的意思是指，如果转换是相反对的，反驳也是在相反对的意义上；如果是矛盾的，则反驳也是在矛盾的意义上）。
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让A属于所有B，但不属于任何C，结论是BC。如果设定B属于所有C，AB不变，则A将属于所有C，这样就产生了第一格。如果B属于所有C，A不属于任何C，则A不属于所有B，这是最后格。如果BC是在相反对的意义上被换位，则AB被证明的方式与以前相同，而AC则是在相矛盾的意义上被反驳的。因为如果B属于所有C，A不属于任何C，则A不属于有些B。再者，如果B属于有些C，A属于所有B，则A属于有些C，这样，相反意义的三段论便产生了。如果前提间处于相反对的关系，则证明也相同。
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可是，如果三段论是特称的，当结论在相反对的意义上被转换时，则没有一个前提被反驳，正如在第一格中没有一个被反驳一样[15]，但当结论是在相矛盾的意义上被转换时，两个都被反驳。设定A不属于任何B，但属于某个C，结论是BC。那么，如果设定B属于某个C，AB不变，则结论是A不属于某个C。但原来的前提是不可反驳的，它可能既属于某个又不属于另一个。再者，如果B属于某个C，A属于某个C，则三段论不能成立，因为没有一个断定是全称的。所以，AB就不可反驳。但是，如果结论是在相矛盾的意义上被转换的，则两个前提都可反驳。因为如果B属于所有C，A不属于任何B，则A不属于任何C；而以前它却属于某个C。再者，如果B属于某个C，A属于某个C，则A属于某个B。如果全称陈述是肯定的，则证明与以前相同。
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【10】在第三格中，当结论是在相反对的意义上被转换时，那么，在任何三段论中都没有一个前提可被反驳；但如果是在相矛盾的意义上被转换，则在一切三段论中两个前提都可被反驳。假如已经证明A属于某个B，设定C是中词，所有前提都是全称的。因而如果设定A不属于某个B，B属于所有C，则与A和C相联系的三段论便不会产生。如果A不属于某个B，但属于所有C，则没有与B和C相联系的三段论。如果前提不是全称的，也会有相同的证明。因为通过转换，要么两个前提都必然是特称的，要么小前提是全称的。我们以前说过[16]，在这些情况下，三段论在第一格以及在中间格中都不能成立。
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但是，如果结论是在相矛盾的意义上被转换，则两个前提都可被反驳。因为如果A不属于任何B，B属于所有C，则A不属于任何C。再者，如果A不属于任何B，但属于所有C，则B不属于任何C。如果另一个前提不是全称的，则同样的道理也适用。因为如果A不属于任何B，B属于某个C，则A不属于某个C。如果A不属于任何B，但属于所有C，则B不属于任何C。
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如果三段论是否定的，情况亦相同。假如已经证明A不属于某个B，BC是肯定的，AC是否定的。我们以前说过[17]，三段论就是这样产生的。如果相反对的结论被设定，则三段论不能成立。因为如果A属于某个B，B属于所有C，那么就没有关于A和C的三段论，这是我们以前说过的[18]。如果A属于某个B，不属于任何C，则没有关于B和C的三段论，这也是我们以前说过的。这样，前提就都没有被反驳。但当相矛盾的结论被设定时，它们就被反驳了。因为如果A属于所有B，B属于C，则A也属于所有C；但根据设定，它不属于任何C。再者，如果A属于所有B，但不属于任何C，则B不属于任何C；但根据设定，它属于所有C。如果前提不是全称的，则也有相同的证明。因为AC变成既是全称的，又是否定的，另一个陈述变成特称的、肯定的。这样，如果A属于所有B，B属于某个C，那么就可以推论出，A属于某个C，但根据设定，它不属于任何C。再者，如果A属于所有B，却不属于任何C，则B不属于任何C，可原来设定它属于某个C。但是，如果A属于某个B，B属于某个C，三段论就不能成立。如果A属于某个B，但不属于任何C，三段论也不能产生。因而在前一种情况下，前提都可被反驳，但在后一种情况下，它们都没有被反驳。
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通过上述分析，我们明白了，当结论转换时，三段论在每个格中如何产生，在什么条件下结论与原前提相反对，在什么条件下与原前提相矛盾；在第一格中三段论是通过中间格和最后格产生的，小前提总是为中间格所反驳，大前提总是为最后格所反驳；在第二格中，三段论是通过第一格和最后格而产生的，小前提总是为第一格所反驳，大前提总是为最后格所反驳；在第三格中，三段论是通过第一格和中间格产生的，大前提总是为第一格所反驳，小前提总是为中间格所反驳。
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【11】什么是换位，它在每个格中如何进行，以及产生什么样的三段论，我们现在都清楚了。
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当我们规定结论的矛盾命题并且设定一个附加的前提时，通过归谬法的三段论就被证明了。它在全部三个格中都可以产生，它与转换相似，但具有以下差别：我们是在三段论已经产生，两个前提皆已设定之后才转换的，相反，我们在使用归谬法时，相矛盾的命题并不是一开始被确认的，但它显然是真实的。但是，在两者之中，词项是相同的，两者的前提也是以相同方式被设定的。例如，如果A属于所有B，C是中词，如果我们规定A不属于所有B或者不属于任何B，但属于所有C（根据假设这是真实的），则C必定不属于任何B，或者不属于所有B。但这是不可能的。因而这一规定是虚假的，而其对立面是真实的。在其他格中情况也相同。因为一切能够转换的例证也能用归谬法加以推论。
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