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在所有三个格中，一切其他命题都可以用归谬法证明，但全称肯定命题在中间格与第三格中可以证明，在第一格中却不能证明。假定A不属于所有B，或者不属于任何B，也设定另一个与任何一个词项相连的前提，要么C属于所有A，要么B属于所有D，这样，我们就得到了第一格。如果我们已经设定A不属于所有B，则不管所设定的前提与哪一个词项相联系，三段论都不能成立。但如果我们已经设定A不属于任何B，则（1）当BD被进一步设定时，尽管我们能推出一个虚假的结论，但所要证明之点却未能证明。因为如果A不属于任何B，B属于所有D，则A不属于任何D。假如这是不可能的，则A不属于任何B就是虚假的。但如果“A不属于任何B”是虚假的，则推不出“A属于所有B”是真实的。（2）如果进一步设定CA，则三段论不能成立，正如当设定A不属于所有B时，三段论也不能成立一样。因此，很清楚，全称肯定命题在第一格中不能用归谬法证明。
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全称否定命题以及特称命题（无论是肯定的，还是否定的）都是可以证明的。假定A不属于任何B，B属于所有C或某个C，因此必然可以推出A不属于任何C或不属于所有C。但这是不可能的（因为A不属于所有C显然是真实的）。因而，如果它是虚假的，则A必定属于某个B。但如果设定另一个前提与A相联系，则三段论不能成立；当相反对的结论（即A不属于某个C）被规定时，三段论也不能成立。因此，很显然，我们必须规定相矛盾的结论。
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再者，规定A属于某个B，设定C属于所有A，那么C必定属于某个B。设定这是不可能的，那么规定就是虚假的。但如果是这样，则A不属于任何B就是真实的。如果所设定的前提CA是否定的，情况也相同。如果与B相关的前提被设定，则三段论不能成立。但是，如果相反对的命题被设定，则三段论可以成立，并且是归谬法论证，但命题本身却没有得到证明。规定A属于所有B，设定C属于所有A，则C必定属于所有B。但这是不可能的。所以A属于所有B是虚假的。但是，如果它不属于所有B，从中并不必然可以推出它不属于任何B。如果设定另一个前提与B相关，情况也相同。因为三段论可以成立并且是归谬法论证，但假设则没有遭到反驳，因而我们必须设定相矛盾的结论。
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为了证明A不属于所有B，我们必须规定它属于所有B。如果A属于所有B，C属于所有A，则C属于所有B；如果这是不可能的，则规定就是虚假的。如果设定另一个前提与B相联系，情况也相同。如果CA已被设定为是否定的，同样的论证也适用，因为三段论以这种方式也能产生。但如果否定命题与B相关，则没有证明。但是，如果规定A不属于所有B，而只属于某个B，那么它所证明的不是它不属于所有B，而是它不属于任何B。如果A属于某个B，C属于所有A，则C也属于某个B。如果这是不可能的，那么A属于某个B就是虚假的。因而它不属于任何B就是真实的。但由于这一证明，真理也被反驳了；因为根据以前的设定，A属于某个B，也不属于某个B。除此而外，从这个规定中不会产生不可能性。如果这样，则假说就会是假的，因为一个虚假的结论不能从真实的前提中产生。但实际上它是真实的，因为A属于某个B。因而我们必须假定，不是A属于某个B，而是它属于所有B。如果我们打算证明A不属于某个B，情况亦相同。因为如果“不属于某个”与“不属于全体”是相同的，则两者的证明也是相同的。
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因此很显然，在所有三段论中，我们必须规定相矛盾的结论而不是相反对的结论，这样，我们就具有必然性。我们的观点可为一般所承认。如果一个既定谓项要么其肯定要么其否定对每个既定的主项是真实的，那么，如果证明了否定不是真实的，则肯定就必然是真实的。再者，如果“肯定是真实”站不住脚，则“否定是真实”的论点将为一般所承认。但相反对命题是真实的观点没有满足任何一个要求。因为“如果它不属于任何”是假的，并不必然可以推出“它属于所有”是真的；一般也不承认一个是假的，则另一个就是真的。
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【12】因此，很显然，在第一格中，其他命题都可以用归谬法证明，但全称肯定命题却不能。即使在中间格和最后格中，这也可以证明。假定A不属于所有B，设定A属于所有C。因而，如果它不属于所有B，但属于所有C，则C不属于所有B。但这是不可能的。假如C属于所有B是显然的，那么这一规定就是虚假的。因而A属于所有B是真实的。但如果我们规定相反对的命题，尽管三段论可以成立并且是归谬法证明的，命题也不能得到证明。因为如果A不属于任何B，但属于所有C，则C不属于任何B。但这是不可能的；所以A不属于任何B是虚假的。但如果这是假的，则推不出A属于所有B是真实的。
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当A属于有些B时，规定A不属于任何B，但让它属于所有C，则C必定不属于任何B。这样，如果这是不可能的，A必定属于有些B。如果假设它不属于有些B，那么我们会得到与在第一格中同样的结果。
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再者，规定A属于某个B，但让它不属于任何C，则C必定不属于某个B。但原来设定它属于所有B，所以这一规定是虚假的，因而A不属于任何B。
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当A不属于所有B时，规定它属于所有B，但不属于任何C，则C必定不属于任何B。但这是不可能的；所以A不属于所有B是真实的。因此，很显然，所有的三段论都能通过第二格而产生。
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【13】同样，它们也能通过最后格产生。假定A不属于某个B，但属于所有C，则A不属于某个C。所以，如果这是不可能的，则A不属于某个B是假的，而它属于所有B是真的。但如果规定它不属于任何B，尽管三段论可以成立，并且是归谬法证明，命题也没有得到证明。如果规定相反对的命题，我们可得到与以前相同的结论[19]。我们必须选择可用来证明A属于有些B的假设，因为如果A不属于任何B，C属于某个B，则A不属于所有C。如果这是虚假的，A属于有些B就是真实的。
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当A不属于任何B时，规定它属于某个B，设定C也属于所有B，则A必定属于某个C。但根据原来的设定，它不属于任何C，所以A不属于某个B是虚假的。如果规定A属于所有B，则命题没有得到证明；这个假设必然被选来证明A不属于所有B。因为如果A属于所有B，C属于某个B，则A属于某个C，但它原来不是这样的。所以A属于所有B是虚假的；如果是这样，则它不属于所有B是真实的。但如果规定它属于某个B，则结果与我们已经讨论过的一样[20]。
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很显然，在一切归谬法三段论中，必须规定相矛盾的命题。同样明显的是，在一种意义上，肯定命题可在中间格中得到证明，全称命题可在最后格中得到证明。
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【14】归谬法证明与直接证明不同：归谬法先规定它所要反驳的命题，然后用它推出一个公认的谬误；相反，直接证明则一开始就提出公认的命题。两者都设定了两个公认的前提，但直接证明设定三段论所由推出的前提，归谬法设定一个三段论的前提，一个与结论相矛盾的命题。在直接证明中，结论不需要是已知的，也不需要预先设定它的真和假；但归谬法必须假定它预先不是真的。但是，结论是否定的还是肯定的则无关紧要，在这两种证明中，程序是相同的。
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通过相同的词项，每个可用直接证明法建立的命题也可用归谬法加以证明，反之亦然。当三段论在第一格中产生时，中间格或最后格也能找到真理。在中间格中是否定的，在最后格中是肯定的。当三段论是在中间格产生时，则在第一格中也能出现真理，并且与一切命题相关。当三段论在最后格中产生时，在第一格和中间格中都能找到真理，在第一格中是肯定的，在中间格中是否定的。
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假如通过第一格已经证明，A不属于任何B，或者不属于所有B。则假设是A属于某个B，C被设定属于所有A但不属于任何B，三段论和归谬法论证就是这样产生的。但是，如果C属于所有A，不属于任何B，那么它是中间格；从这些前提中显然可以推出，A不属于任何B。
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如果已经证明A不属于所有B，情况也相同。假设它属于所有B，以前已设定C属于所有A但不属于所有B，如果设定CA是否定的，则同样的道理也适用。因为在这种情况下，我们也会得到中间格。
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再者，假如A属于某个B已被证明。那么假设它不属于任何B，以前已设定B属于所有C，A属于所有或某个C，归谬法证明以这种方式就能得出结果。如果A和B都属于某个C，那么这就是最后格；从这些前提中显然可以推出A必定属于某个B。如果设定B或A属于某个C，则情况也相同。
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再者，在第二格中，假定已经证明A属于所有B。那么假设A不属于所有B，并且断定A属于所有C，C属于所有B，归谬法证明以这种方式就能得到结果。当A属于所有C，C属于所有B时，这是第一格。如果A已经被证明属于某个B，则情况也相同。假设A不属于任何B，断定A属于所有C，C属于有些B。如果三段论是否定的，假定A属于某个B，断定A不属于任何C，C属于所有B，这样我们就获得了第一格。如果三段论不是全称的，但已经证明A不属于某个B，则同样的道理也适用；因为假设A属于所有B，断定A不属于任何C，C属于某个B，这样我们就得到了第一格。
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再者，在第三格中，假如A属于所有B已经被证明。那么假设A不属于所有B，断定C属于所有B，A属于所有C，归谬法证明以这样方式就能获得结果。这是第一格。如果证明得出了一个特称结论，则同样的道理也适用。因为假设A不属于任何B，断定C属于某个B，A属于所有C。如果三段论是否定的，假设A属于某个B，断定C不属于任何A，但属于所有B，这是中间格。如果证明得出一个特称否定的结论，则情况也同样。那么假设A属于所有B，而以前的断定是C不属于任何A，但属于某个B，这是中间格。
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很清楚，这些命题中的每一个都能通过同样的词项直接得到证明。如果三段论是直接证明的，则情况也相同。如果我们设定与结论相矛盾的前提，那么也可能通过已设定的词项来用归谬法证明。因为我们得到的三段论与通过换位得到的三段论相同；这样我们就得到了能产生出每个命题的格。所以，十分清楚，每个命题既能直接地加以证明，也可用归谬法加以证明，这两种方法相互之间不可能截然分开。
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【15】我们在下面要分析清楚，在什么格里我们能够从相对立的前提中得出结论，在什么格中不行。我说的相对立的前提是指以下四对在字面上表示出对立的前提，即“属于全体”与“不属于任何一个”；“属于全体”与“不属于全体”；“属于某个”与“不属于任何一个”；“属于某个”与“不属于某个”。但其中只有三组是真正相对立的，因为“属于某个”与“不属于某个”的对立仅仅是字面上的。在相对立的三对中，全称前提“属于全体”与“不属于任何一个”是相反对的（例如，“一切知识都是好的”与“没有任何知识是好的”），另外两对前提是相矛盾的。
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在第一格中，从相对立的前提中不可能推出三段论，无论它是肯定的还是否定的。肯定三段论不可能产生，因为要形成一个肯定三段论，两个前提都必须是肯定的，而一组相对立的前提是由一个肯定和它的否定所组成的。否定三段论也不可能产生，因为相对立的前提肯定和否定相同谓项述说相同的主项，在第一格中，中项不能都陈述另外两个词项，而是它自己述说一个词项，另一个词项又否定它；这样构成的前提不是相对立的。
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在中间格中，一个三段论既可以从相矛盾的前提中产生，也可以从相反对的前提中产生。设A表示“好的”，B和C表示“科学”。如果我们设定所有科学都是好的，则没有任何科学是好的，A属于所有B，但不属于任何C，所以B不属于任何C，因而没有任何科学是科学。如果在设定所有科学都是好的之后，我们进而设定医学不是好的，情况也相同。因为A属于所有B，但不属于任何C，所以特殊的医学科学也不是科学。如果A属于所有C，但不属于任何B，B表示“科学”，C表示“医学”，A表示“信念”，在设定没有任何科学是信念之后，我们现在设定一个特殊科学是信念。这与前一个例子不同，因为其词项发生了换位；在前一个例子中，肯定命题与B相关，现在则与C相关。如果另一个前提不是全称的，情况也相同；因为中项总是否定性地述说一个词项，肯定性地述说另一个词项。
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因而，从相对立的前提中有可能得出结论，但并不总是可以，也不是在任何条件下都可以，只有当被包含在中项之下的词项联系是等同的，或者是全体对部分的关系时才行。如果是其他联系则不可能；否则前提将绝对不会是相反对的或相矛盾的了。
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在第三格中，从相对立的前提中得不出肯定的三段论，其原因我们在讨论第一格时已经说过了[21]。但否定三段论却是可能的，无论前提是全称还是特称。让B和C表示“知识”，A表示“医学”。如果我们设定所有医学都是科学，没有医学是科学；那么我们已经设定了B属于所有A，C不属于任何A，因而有些科学便不是科学。如果我们设定的前提BA不是全称的，情况也相同。因为如果有些医学是科学，再者没有医学是科学，那就可以推出有些科学不是科学。如果所设定的词项是全称的，则前提是相反对的，但如果一个词项是特称的，则前提是相矛盾的。
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