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三分损益相生法中有两个相生因子：2/3与4/3。三分损一（即2/3）后的音比其前的弦音高纯五度；三分益一（即4/3）后的音比其前的弦音低纯四度。除了1/1和1/2之外，这两个相生因子在数学上是最简单的，而在音感上，由它们产生的纯四度和纯五度又是完全协和音程（1/1和1/2为绝对协和）。由三分损益法产生的五声音阶的任一调式只有大全音和五度律小三度两种音程，其音阶结构甚为简单。这是三分损益法的优点，也是它在历代被沿用的原因。(147)三分损益法也是科学史上将自然现象总结为数学规律的最早、最成功的尝试。
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但是，按照三分损益法的计算最终不能返宫。亦即经过五度损益之后，出现音差，不能返回到起始的黄钟律而形成一个圆圈。为了消除这个音差，自汉代京房以后很多大儒沿着三分损益法作了许多新的有益探索，结果都没有成功。
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刘焯在研究这一问题时，决心摆脱三分损益法的羁绊，另创一种数学方法，声学史上，称为“刘焯定律”。据《隋书·律历志》载：
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仁寿四年（604），刘焯上启于东官论张胄玄历，兼论律吕。其大旨曰：乐主于音，音定于律，音不以律，不可克谐，度律均钟，于是乎在。但律终小吕，数复黄钟，旧计未精，终不复始。故汉代京房，妄为六十，而宋代钱乐之更为三百六十。考礼诠次，岂有得然，化未移风，将恐由此。匪直长短失于其差，亦自管围乖于其数。又尺寸意定，莫能详考，既乱管弦，亦舛度量。焯皆校定，庶有明发。其黄钟管六十三为实，以次每律减三分，以七为寸法。约之，得黄钟长九寸，太簇长八寸一分四厘，林钟长六寸，应钟长四寸二分八厘七分之四。其年，高祖崩，炀帝初登，未遑改作，事遂寝废。其书亦亡。
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戴念祖在《声学史》论及刘焯的章节中，按此记载，将其法按现代数学等式列出：
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Ln＝63－3n/7＝9－3/7n
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式中L代表管长度，n相应于十二律。刘焯以这一等式求得十二律的管长，以公差3/7n构成各律管的等差数列。并以之与现代等程律相比照，发现两者之间的差距很大。就这样，刘焯打破了三分损益的律学传统，企图以长度上等差数列定律达到旋宫目的。然而，这种计算虽然获得相邻两律间的长度差均为3/7寸，但是，这样不仅不能旋宫，而且会使十二律的音高相混淆。究其原因是：一则其未作管口校正，管与弦等同看待；二则是误将“长度等差”看做近代所谓的“音程等比”。尽管如此，刘焯大胆地突破三分损益法却是一个创举，为后人创建等程律提供了一个可贵的失败例证，这种勇于探索的精神仍然是值得嘉许的。
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律历之学自汉代已被称为绝学，刘焯不仅精通其学，而且为推进其发展，做出了卓越的贡献。颜之推曾说：“算术亦是六艺之要事，自古儒士论天道、定律历者，皆学通之。然可以兼明，不可以专业。”(148)“不可专业”者，非谓不可以此为业，乃不可专以此为业也。只守一艺谓之专，兼而明之谓之通。史传称刘焯为“数百年已来，博学通儒无能出其右者”(149)，可谓名副其实，信非虚语。
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参考文献
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中国儒学史 第四节 刘炫的生平与学术思想
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一、刘炫的生平事略
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刘炫，（约生于公元545，卒于公元613）字光伯。河间景城人（今属河北献县）。《隋书·儒林传》说刘炫：“少以聪敏见称，与信都刘焯闭户读书，十年不出。炫眸子精明，视日不眩，强记默识，莫与为俦。左画方，右画圆，口诵，目数，耳听，五事同举，无有遗失。”(150)可见是个奇才。刘炫与刘焯自幼结为盟友，同师事于熊安生、刘轨思、郭懋等北学名师。以武强刘智海家藏书富，乃相与就读。苦研10年，“遂得博览典诰，窥涉今古”(151)，终于成为一代通儒。
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开皇年间，刘焯举秀才，对策甲等，除员外将军。于国子学共论古今滞义，以精博为人叹服。与此同时，刘炫亦以才学被荐于朝廷。以二人才学齐名故时称二刘。
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刘炫初入朝，“奉敕与著作郎王劭同修国史。俄直门下省，以待顾问。又与诸术者修天文律历，兼于内史省考定群言，内史令博陵李德林甚礼之。炫虽遍直三省，竟不得官，为县司责其赋役。炫自陈于内史，内史送诣吏部，吏部尚书韦世康问其所能。炫自为状曰：‘《周礼》、《礼记》、《毛诗》、《尚书》、《公羊》、《左传》、《孝经》、《论语》孔、郑、王、何、服、杜等注，凡十三家，虽义有精粗，并堪讲授。《周易》、《仪礼》、《谷梁》，用功差少。史子文集，嘉言美事，咸诵于心。天文律历，穷核微妙。至于公私文翰，未尝假手。’吏部竟不详试。然在朝知名之士十余人，保明炫所陈不谬，于是除殿内将军”(152)。正是因为刘炫有如此渊博的学识，所以才得到当时鸿儒李德林的礼重和“在朝知名之士”的保举。然而刘炫以如此才学，在朝廷“遍直三省”，竟然未能授予官职，吏部亦“不详试”，可见隋朝待士的刻薄寡恩。
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开皇年间，牛弘奏购求天下遗逸之书，刘炫遂抄录旧藏古书百余卷，题为《连山易》、《鲁史记》等，录上送官，取赏而去。后有人讼之，认为皆炫所伪造，下狱论死，后经赦免，被除名归于家，以教授为务。其时，刘焯亦以他故被遣回乡。
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太子杨勇闻知之后，又将其二人召回。既至京师，又被朝廷敕令事蜀王杨秀，迁延不往，被目为傲视王侯，“枷送益州。既而配为帐内，每使执仗为门卫。俄而释之，典校书史。炫因拟屈原《卜居》为《筮涂》以自寄”。及蜀王被废始得还朝。与诸儒修定五礼，授旅骑尉。尚书牛弘尝问之曰：“君王遇子，其礼如何？”曰：“相期高于周、孔，见待下于奴仆。”弘不悟其言，请闻其义。炫曰：“吾王每有所疑，必先见访，是相期高于周、孔；酒食左右皆餍，而我余沥不餍，是见待下于奴仆也。”(153)
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炀帝即位，牛弘引炫修《律令》，多所建议。及“炀帝复开庠序”之时，纳言杨达荐举刘炫博学有文章，得以“射策高第，除太学博士”。只一年多，便被劾以“品卑去任”。还至中途，又“奉敕追诣行在所。或言其无行，帝遂罢之”。从此未再出仕，著书讲学，优游岁月。
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在隋朝末年那场大规模的历史动乱中，很多儒生都参加了农民起义军，刘炫的门生大多投入河北的窦建德军。刘炫“时在郡城，粮饷断绝”，其门人“哀炫穷乏，诣城下索炫，郡官乃出炫与之”，实际上也参加了义军。可惜这支部队后为官军所破，“炫饥饿无所依，复投县官。县官意炫与贼相知，恐为后变，遂闭门不纳。时夜冰寒，因此冻馁而死。其后门人谥曰宣德先生”。
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