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哥德尔还有过被误认为是德国间谍的经历。1942年夏天，他到缅因州的滨海小镇蓝山（Blue Hill）度假。那时他正致力于选择公理的独立性的研究，为了不受干扰，他总在晚上去海滩边散步边思考。散步就散步，却还要自言自语，而且还用德文。那时第二次世界大战正打得如火如荼，德国潜艇曾经在美国大西洋沿岸出没过，哥德尔的长相恐怕也有点容易令人起疑。所有这些因素加在一起，让当地的居民很难不疑心他是前来接应德国潜艇的间谍。当局不时接到举报电话，好在他们并不糊涂，从未把哥德尔弄到警察局去。
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作为逻辑学家，哥德尔一生认死理、爱钻牛角尖，凡事都以逻辑推理为准。有时候让人觉得他好像是个不食人间烟火的异类。他为数不多的朋友之一，对策论的奠基人、经济学家摩根斯坦（Oskar Morgenstern，1902—1977）讲过一个很有趣的故事，颇能反映哥德尔的这一特点。1948年4月，哥德尔准备加入美国国籍。入籍前必须通过一个例行的简单考试。他花了极大的精力认真进行准备，尤其深入地钻研了美国宪法。考试前不久，哥德尔十分兴奋地跑来对摩根斯坦说“我发现了一个使美国能在逻辑上合法转化为独裁政权的可能性”。摩根斯坦当然知道不管哥德尔的论证多么精辟，这项发现对入籍考试来说都是灾难性的。所以他特别叮嘱哥德尔在考试时一定不要提这项新发现。考试那天，爱因斯坦和摩根斯坦两人作为证人陪同哥德尔来到移民局。入籍考试通常只允许申请人一人进入移民官的办公室。可能是出于对爱因斯坦的尊重，移民官把他们三个人一起请了进去。移民官开场说道，“到目前为止，你持有德国国籍……”哥德尔马上纠正说是奥地利国籍。移民官接着说：“不管怎样，它是在邪恶的独裁统治之下……幸运的是，这在美国是不可能发生的……”这下可捅了马蜂窝，哥德尔立刻高声打断道：“正相反，我知道这是可能发生的！”摩根斯坦和爱因斯坦二人费了九牛二虎之力才总算阻止住他继续深入阐述他的重要发现，让考试回归正轨。
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爱因斯坦与哥德尔的交情匪浅，两人经常一起从普林斯顿高等研究所散步回家。一路上他们会讨论涵盖范围极广的各种各样的问题。哥德尔是为数不多的愿意挑战爱因斯坦想法的人，比如他曾直言对统一场论抱持怀疑态度。在晚年时，爱因斯坦有一次跟摩根斯坦说，他自己的工作对其本身已经没有多大意义，他之所以仍然每天去研究所，仅仅是为了“能获得与哥德尔一起散步回家的特权”。哥德尔也把爱因斯坦视为知己。1949年，为了庆祝爱因斯坦的七十大寿，《在世哲学家文库》准备出一本专辑《阿尔伯特·爱因斯坦：哲学家—科学家》。主编希欧普（P. A. Schilpp）邀请哥德尔也贡献一篇文章。哥德尔突发奇想，决定要为专辑写一篇关于广义相对论的论文。于是重操物理旧业，开始认真研究广义相对论。让人不得不服气的是，他还真发现了爱因斯坦场方程的一个不为人知的新解—这个解对应于一个“没有时间的世界”（有兴趣的读者可以去看Palle Yourgrau的A World Without Time）。
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希尔伯特第八问题
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希尔伯特第八问题是黎曼假说和其他质数问题（质数就是只能被它自己和1整除的自然数，例如：2，3，5，7）。黎曼假说（即关于ζ函数零点的分布的猜想）：ζ函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2。“其他质数问题”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数，都可表示成两个质数之和（数学圈里称其为1＋1，就是说可表示成一个质数加另一个质数）。
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哥德巴赫猜想看上去真是很简单，对任何一个比较小的偶数，似乎都不难把它写成两个质数之和。比如偶数8可表示成3＋5，3和5是质数；又如偶数12可表示成5＋7，5和7是质数，等等。可要证明对任何一个大于2的偶数都能成立，却比登天还难。对哥德巴赫猜想以及和它连在一起的一个名字—陈景润（1933—1996），很多人可能并不陌生。在文化大革命刚刚结束的1978年，陈景润可谓是家喻户晓的超级明星，这在很大程度上是拜名作家徐迟的一篇报告文学《哥德巴赫猜想》（《人民文学》1978年1月号）所赐。文章发表后，一时间洛阳纸贵，各大报刊争相转载。陈景润成为科学与献身的代名词，至于他究竟在哥德巴赫猜想上证明的是什么反而成了次要问题。其实陈景润的这项工作在1966年5月就已经完成了，只是由于“文革”正好在那年开始，没办法拿出来发表。他所证明的是（陈氏定理）：任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质数的乘积（即他证明了任何大偶数都可写成一个质数加不超过两个质数的乘积，所以称为1＋2）。陈氏定理看上去离证明哥德巴赫猜想只有一步之遥，可这最后一道坎时至今日也没人能跨过去。
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有人将哥德巴赫猜想比作数学皇冠上的一颗明珠，但与黎曼假说相比，它的重要性终究还是略逊一筹。这主要是因为ζ函数与质数的分布紧密相关，而质数的分布不但在数论的研究中至关重要，在实际应用上也意义重大。特别是在密码的加密与解密方面，比如公开金钥加密的RSA算法就是以大质数为基础的。
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黎曼（G. F. B. Riemann，1826—1866）在数学史上占有极重要的地位，是黎曼几何学创始人及复变函数论创始人之一，对数学分析、微分几何和微分方程都有重要贡献。黎曼自上小学开始就被视为数学天才，校长专门派了一位老师教他数学。但是很快老师就发现，他从黎曼那儿学到的东西比他能教给黎曼的要多得多！在中学里，校长干脆让黎曼到他的私人图书室（那里有很多高深的数学专著）去自己找书看。有一次黎曼要求校长给他推荐一本难一点的书，为了试试黎曼的潜力，校长建议他去读勒让德（A. Legendre）859页的巨著《数论》。一星期后，黎曼把书还了回来，校长问他书是否太难，他回答说，非常高兴校长给了一本能让他读了一星期之久的书。两年后，黎曼请求学校以勒让德的《数论》作为他毕业考试的一部分。尽管两年来他从未再摸过这本书，对所有的问题却全能对答如流。毫无疑问，《数论》对黎曼具有很大影响，使他对研究质数的分布产生了浓厚的兴趣。
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黎曼
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提出黎曼假说的论文发表于1859年。为了阐述和解释这篇仅仅八页长的论文，爱德华兹（H. M. Edwards）写了一部300页的专著《黎曼的ζ函数》（1974）。ζ函数本身其实并不复杂，学过初等数学的人大概都能看懂：
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黎曼断言ζ函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2。到目前为止，所有已知的15亿个非平凡零点（绝大部分是用计算机得到的）全部与黎曼的猜想相吻合。
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在希尔伯特眼里，黎曼假说应该算是这23个问题中的重中之重。巴黎会议之后不久，有人问过他在这些问题中哪一个最重要，他以不容置疑的口气答道“黎曼假说”。多年以后，在希尔伯特晚年，又曾经有人问他，假如死后500年又复活了的话，问的第一个问题会是什么？他毫不犹豫地答道：“是否有人证明了黎曼假说？”
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关于希尔伯特和黎曼假说还有一个传说：某天，他的一个学生拿了一篇证明黎曼假说的论文给他看。希尔伯特仔细研究了这篇论文，对文中的精辟论证留下深刻的印象。只可惜他发现其中有一处错误，而且想尽办法也无法克服。一年之后这个学生突然去世了。在下葬时，希尔伯特要求致悼词。在蒙蒙细雨中，他趋前几步，面对哭哭啼啼的亲友开始演讲。他首先说，如此才华横溢的一个年轻人在其能有所作为之前就死去了，真是个悲剧。尽管这个年轻人对黎曼假说的证明存在一处错误，但是可能有一天，这个著名问题的解答也许就是沿着死者所指出的方向而被得到。然后话锋一转，“事实上，让我们来考虑一个复变量的函数……”接着就是天马行空的长篇大论。
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希尔伯特在1920年的一次演讲时说，他认为演讲厅里没人能活到看见希尔伯特第七问题的解决，而他自己应该能活着看到黎曼假说被证明，大厅里最年轻的人则可能看到费尔马大定理被证明。事实是，只有他对费尔马大定理的预言是大体正确的—它于1994年被证明。其余两个问题则和他的预言正好相反，他活着看到了第七问题的解决，而黎曼假说时至今日还是没能被证明。
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希尔伯特第十三问题
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一般的七次方程式x7＋ ax3＋ bx2＋ cx＋1＝0的七个解，是系数a，b，c的（三变量）函数。第十三问题是：此三变量的函数是否可用有限个双变量的函数来建构。希尔伯特真正关心的当然不是仅限于这个七次方程的解，他感兴趣的大概是一个多变量的函数是否能用有限个双变量的函数来建构。
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俄国最伟大的数学奇才柯尔莫哥洛夫（A. N . Kolmo-gorov，1903—1987）奠定了解决这个问题的基础，他在1956年证明任意具有多个变量的函数均可用有限个三变量的函数来建构。第十三问题的最终证明，则是由他的学生、当时年仅19岁的阿诺尔德（V. I. Arnold，1937—2010）于1957年给出的—任意具有多个变量的函数均可用有限个双变量的函数建构。柯尔莫哥洛夫和阿诺尔德所研究的是一个更广义的问题，第十三问题只是其特例。
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柯尔莫哥洛夫出生在俄国最动荡的年代，一生颇富传奇色彩。他父亲是个革命者，在被流放时结识了出身于贵族家庭的柯尔莫哥洛娃（柯尔莫哥洛夫的母亲），之后上演了一出贵族小姐与流亡革命者私订终身的戏码。不幸的是柯尔莫哥洛夫的母亲在生他时死了，而父亲虽然偶尔来看看他，却从来就没和他在一起生活过。柯尔莫哥洛夫是由姨妈抚养长大的，这也是他随母姓的原因。他的这位姨妈也干过革命，还曾经被软禁过。据说柯尔莫哥洛夫三个月大的时候，他家遭到搜查，违禁品就藏在他的摇篮下面。后来为了照顾柯尔莫哥洛夫，他的姨妈放弃了革命活动。
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柯尔莫哥洛夫
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柯尔莫哥洛夫在很小的时候就显露出超常的数学天赋。他的第一篇论文是在五六岁时发表于他们学校的校刊上的，内容是报告他发现1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，等等。他14岁就已经自学了高等数学，不过按他自己所说，在中学时其实对生物和历史更有兴趣。他刚入莫斯科大学的时候，在学习数学的同时也学历史，而且他在大学里写的第一篇论文还是与历史有关的：运用概率论的方法分析15和16世纪诺夫哥罗德省的土地注册问题。尽管那时统计学还远没有成为一个成熟的学科，他仍然得到了一些很有意义的结果。他把论文拿给一位历史教授看，教授认为文章不错，但不能发表，原因是“你只发现了一个证据，对历史学家来说这远远不够，你至少需要五个证据”。柯尔莫哥洛夫从此彻底打消了搞历史的念头，决定去搞科学，因为“在那里，对于一项结论，一个证明就够了。”由此，俄罗斯可能少了一位历史学家，而世界上则多了一位伟大的数学家。
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19岁时，柯尔莫哥洛夫发现了勒贝格可积函数的傅里叶级数的发散性（傅里叶级数在物理学中有重要应用），这一结果对傅里叶级数的研究意义极大，使他一下成为国际数学界瞩目的新星。柯尔莫哥洛夫一生发表过五百多篇学术论文，涵盖了数学和物理领域。在涉足的每个领域里，他所取得的成就是一般的数学家或物理学家很难望其项背的。在概率论方面，他首创了一套以测度论为基础的公理系统（1929—1933年），整个近代概率理论就是在它上面建立起来的。这也与希尔伯特第六问题息息相关，起码可以算是它的一个子问题。他在随机过程，特别是马尔可夫链和布朗运动的研究中取得了极为重要的成果，为现代统计学奠定了基础。在湍流理论、混沌理论、相空间理论、三体问题、拓扑学等许多数学、物理领域中他都做过非常了不起的工作。柯尔莫哥洛夫在希尔伯特第十三问题上的贡献足以使任何一位数学家跻身于世界顶尖数学家的行列，但与他一系列“开天辟地”的成果相比，这大概也只能算是他的一项“普通”的成就。