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关于希尔伯特和黎曼假说还有一个传说：某天，他的一个学生拿了一篇证明黎曼假说的论文给他看。希尔伯特仔细研究了这篇论文，对文中的精辟论证留下深刻的印象。只可惜他发现其中有一处错误，而且想尽办法也无法克服。一年之后这个学生突然去世了。在下葬时，希尔伯特要求致悼词。在蒙蒙细雨中，他趋前几步，面对哭哭啼啼的亲友开始演讲。他首先说，如此才华横溢的一个年轻人在其能有所作为之前就死去了，真是个悲剧。尽管这个年轻人对黎曼假说的证明存在一处错误，但是可能有一天，这个著名问题的解答也许就是沿着死者所指出的方向而被得到。然后话锋一转，“事实上，让我们来考虑一个复变量的函数……”接着就是天马行空的长篇大论。
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希尔伯特在1920年的一次演讲时说，他认为演讲厅里没人能活到看见希尔伯特第七问题的解决，而他自己应该能活着看到黎曼假说被证明，大厅里最年轻的人则可能看到费尔马大定理被证明。事实是，只有他对费尔马大定理的预言是大体正确的—它于1994年被证明。其余两个问题则和他的预言正好相反，他活着看到了第七问题的解决，而黎曼假说时至今日还是没能被证明。
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希尔伯特第十三问题
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一般的七次方程式x7＋ ax3＋ bx2＋ cx＋1＝0的七个解，是系数a，b，c的（三变量）函数。第十三问题是：此三变量的函数是否可用有限个双变量的函数来建构。希尔伯特真正关心的当然不是仅限于这个七次方程的解，他感兴趣的大概是一个多变量的函数是否能用有限个双变量的函数来建构。
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俄国最伟大的数学奇才柯尔莫哥洛夫（A. N . Kolmo-gorov，1903—1987）奠定了解决这个问题的基础，他在1956年证明任意具有多个变量的函数均可用有限个三变量的函数来建构。第十三问题的最终证明，则是由他的学生、当时年仅19岁的阿诺尔德（V. I. Arnold，1937—2010）于1957年给出的—任意具有多个变量的函数均可用有限个双变量的函数建构。柯尔莫哥洛夫和阿诺尔德所研究的是一个更广义的问题，第十三问题只是其特例。
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柯尔莫哥洛夫出生在俄国最动荡的年代，一生颇富传奇色彩。他父亲是个革命者，在被流放时结识了出身于贵族家庭的柯尔莫哥洛娃（柯尔莫哥洛夫的母亲），之后上演了一出贵族小姐与流亡革命者私订终身的戏码。不幸的是柯尔莫哥洛夫的母亲在生他时死了，而父亲虽然偶尔来看看他，却从来就没和他在一起生活过。柯尔莫哥洛夫是由姨妈抚养长大的，这也是他随母姓的原因。他的这位姨妈也干过革命，还曾经被软禁过。据说柯尔莫哥洛夫三个月大的时候，他家遭到搜查，违禁品就藏在他的摇篮下面。后来为了照顾柯尔莫哥洛夫，他的姨妈放弃了革命活动。
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柯尔莫哥洛夫
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柯尔莫哥洛夫在很小的时候就显露出超常的数学天赋。他的第一篇论文是在五六岁时发表于他们学校的校刊上的，内容是报告他发现1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，等等。他14岁就已经自学了高等数学，不过按他自己所说，在中学时其实对生物和历史更有兴趣。他刚入莫斯科大学的时候，在学习数学的同时也学历史，而且他在大学里写的第一篇论文还是与历史有关的：运用概率论的方法分析15和16世纪诺夫哥罗德省的土地注册问题。尽管那时统计学还远没有成为一个成熟的学科，他仍然得到了一些很有意义的结果。他把论文拿给一位历史教授看，教授认为文章不错，但不能发表，原因是“你只发现了一个证据，对历史学家来说这远远不够，你至少需要五个证据”。柯尔莫哥洛夫从此彻底打消了搞历史的念头，决定去搞科学，因为“在那里，对于一项结论，一个证明就够了。”由此，俄罗斯可能少了一位历史学家，而世界上则多了一位伟大的数学家。
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19岁时，柯尔莫哥洛夫发现了勒贝格可积函数的傅里叶级数的发散性（傅里叶级数在物理学中有重要应用），这一结果对傅里叶级数的研究意义极大，使他一下成为国际数学界瞩目的新星。柯尔莫哥洛夫一生发表过五百多篇学术论文，涵盖了数学和物理领域。在涉足的每个领域里，他所取得的成就是一般的数学家或物理学家很难望其项背的。在概率论方面，他首创了一套以测度论为基础的公理系统（1929—1933年），整个近代概率理论就是在它上面建立起来的。这也与希尔伯特第六问题息息相关，起码可以算是它的一个子问题。他在随机过程，特别是马尔可夫链和布朗运动的研究中取得了极为重要的成果，为现代统计学奠定了基础。在湍流理论、混沌理论、相空间理论、三体问题、拓扑学等许多数学、物理领域中他都做过非常了不起的工作。柯尔莫哥洛夫在希尔伯特第十三问题上的贡献足以使任何一位数学家跻身于世界顶尖数学家的行列，但与他一系列“开天辟地”的成果相比，这大概也只能算是他的一项“普通”的成就。
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柯尔莫哥洛夫的兴趣相当广泛，数学、物理、生物、历史之外，他还爱好古典音乐和古典文学。对俄罗斯诗歌更是情有独钟，甚至还发表过11篇用统计学方法研究俄罗斯诗歌韵律结构的论文。他对户外活动也十分着迷，一有机会就出去远足、露营。有一年，他和另一位顶尖数学家、拓扑学大师亚历山德罗夫（P. S. Alexandrov，1896—1982）一起，既不带地图也不带旅游手册，随身只带了一本《荷马史诗》，划一艘小船沿伏尔加河漂流而下。“我们通常把帐篷支在沙洲的顶端，在那里对水流会有一种特殊的感觉。在旅程的开头几天，我们经常在夜里去游泳；在白色的夏夜里，河岸边飘拂着茂密的柳条，空气中充溢着鸟儿的欢叫。这些都给我们留下了不可磨灭的印象。真希望能这样永远继续下去……”（柯尔莫哥洛夫）这次没有任何既定目的地的旅行历时21天，漂流了1300公里，也使他和亚历山德罗夫成为终身的挚友。
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除了在数学和物理学领域中的辉煌成就，柯尔莫哥洛夫对前苏联的初等教育也有重大贡献。从1963年起，他的主要精力就放在了创建和指导第十八中学数学和物理之上（该校因而经常被人们称为柯尔莫哥洛夫学校）。这所精英学校从全国各地招收在数学和科学上具有超常才华的学生，为苏联/俄国造就了很多数学和科学方面的优秀人才。柯尔莫哥洛夫为第十八中学无偿工作了15年，他不但亲自给高年级学生教授数学、参与高中数学教材的编写，而且也给孩子们讲音乐和文学，还经常带他们去露营。在他的带动下，有一大批知名的数学家（其中很多是他的学生）在那里授课，使学校的教学一直处于极高的水平。
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从希尔伯特提出他的23个问题到今天，一百多年已经过去了。这些问题中有十六个得到了解决（1，2，3，4，5，7，9，10，11，13，14，15，17，18，21，22），另外五个（6，12，19，20，23）不是精确意义下的“问题”，而是属于研究领域或研究方向的问题，它们对相关领域的发展起了很大的推动作用。剩下第八和第十六两个问题至今都没能解决。第十六问题在50年代末本以为被苏联科学院院士彼得罗夫斯基（I. G. Petrovsky，1901—1973）和兰迪斯（E. M. Landis，1921—1997）解决了，但后来却发现他们的证明有漏洞。1980年，当时还是中国科技大学研究生的史松龄更举出了一个反例，彻底推翻了彼得罗夫斯基和兰迪斯的证明。
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2000年，仿照100年前的国际数学家大会，美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）邀请了世界上的一些顶级数学家聚集巴黎，在会议上公布了七个对新世纪的数学发展具有重大意义的难题（千禧年大奖难题），并为每个难题的解决设定了100万美元的奖金。希尔伯特第八问题—黎曼假说又被列入其中。不知何年何月黎曼假说才能被最终证明，以慰希尔伯特在天之灵。
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三汤对话 [:1702202817]
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三汤对话 信息、熵与黑洞
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当今世界，信息已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分。信息的存在性是毋庸置疑的，但它又不是一般意义下的实体。如何从物理学的角度给信息下一个定义，这件事着实让物理学家、数学家和计算机学家们颇费了一番斟酌。人们最后是从信息的存储入手，将信息“实体化”的。一条信息不论是记忆在人的大脑里，还是记录在书本上，或是存储在计算机中，总之它都必须依附于某个物质的实体。没有承载信息的实体，信息就无法存在。这就提出了一个非常有意思的问题：对于一个给定大小的空间，能够存储于其中的信息是否有一个极限？如果有，这个极限是多少？如何计算？要回答这个问题，首先需要把信息“数量化”。这倒不难，因为任何一条信息都可以被等价于一组特定的0/1的组合，就像存储于计算机里的数据一样。所以构成信息的最小单位就是0/1，称作位元（或比特）。这样一来，上面的问题就简化为“对于一个给定大小的空间，最多有多少个位元能够存储于其中”。
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克劳德·香农
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要回答这个问题，需要借助一个十分重要也非常有趣的物理量—熵。熵是用来衡量一个系统有序与无序程度的量，熵越大，系统就越无序（通俗地说，就是越乱）。熵本身是一个宏观物理量，但描述的却是一个系统微观的有序、无序程度。如果把你的卧室看作一个宏观系统，卧室里的床、椅、鞋、袜等等则是构成这个系统的微观元素，卧室里面越乱，它的熵就越大。从在物理学中占有重要地位的热力学第二定律出发，可以得出熵增加原理：一个孤立系统（即与外界没有能量交换的系统）的熵是永不减少的。仍以卧室为例，如果没有任何人花力气去整理它（在这里“整理”可以被看作从外界输入能量），从某种意义上说这个卧室就可以被看成一个孤立系统，它的熵就永远不会减少，即只可能变得越来越乱。
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信息论之父香农（Claude Shannon，1916—2001）于1948年发表的论文《通信的数学理论》被视为现代信息论研究的开山之作，在该文中他首次提出了信息熵的概念。信息熵描述的是随机变量的不确定性，也就是不可预测性。它不但在数学表达形式上与物理熵一致，在实质上也与物理熵有着紧密的联系。不难想象，一个系统越无序，对它就越难准确描述，当然也就越不可预测。两间放有相同东西的房间，比如说里面都有10本杂志，一间很乱（物理熵高），杂志东一本西一本，床上、地上哪儿都有。一间很整齐（物理熵低），所有的杂志都摞在床头柜上。如果有人进来随手拿起一本杂志向某个方向胡乱一扔（杂志位置变动的信息），对前者来说，几乎无法判断出房间里面有什么变化（难以得到信息），而对后者，变化则是一目了然的（容易得到信息）。
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信息与熵的关联是比较显而易见的，但信息与黑洞之间能有什么联系呢？在回答这个问题之前，让我们先来看看黑洞的一些重要性质。
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黑洞最初是被作为广义相对论的一个数学结论而提出。它的发现本身就颇有戏剧性。爱因斯坦在1915年提出广义相对论的引力场方程，这个非线性的方程是广义相对论的核心，但在数学上却很难解。在广义相对论发表之初，那些引起举世轰动的预测，都是爱因斯坦在对该方程进行了一些计算之后才最终得到的。然而就在引力场方程刚刚问世之后不久，极具天才的天体物理学家史瓦西（KarlSchwarzschild，1873—1916）就得到了第一个精确解。史瓦西出生于德国法兰克福，16岁时就发表了一篇关于行星轨道的论文。他在斯特拉斯堡与慕尼黑大学求学，1896年获得博士学位，1912年成为普鲁士科学院的会员。1914年第一次世界大战爆发，尽管已年过四十，他居然投笔从戎参加了德军，并成了一名炮兵上尉。1915年在俄国前线的战壕里，他写了一篇关于相对论的重要论文（完成于1916年初），得到了一般性引力理论方程的第一组精确解。其中一个解是关于“非转动性、球对称的天体”，另外一个解的对象则是关于在真空中任意质量的星体周围的空间特性。正是这第二个解奠定了经典黑洞研究的基础，在天体物理学和宇宙学中具有里程碑的意义。他把论文寄给了爱因斯坦，并由爱因斯坦协助发表在普鲁士科学院会刊上。然而当论文发表时，史瓦西已经因病去世了。
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